הלמה של גאוס (פולינומים)

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

הלמה של גאוס היא שמן המשותף של כמה טענות שהוכיח קרל פרידריך גאוס בתחום הפולינומים, שהעיקריות בהן:

הטענות מתייחסות לפולינומים מעל תחום פריקות יחידה, ובפרט הן נכונות עבור פולינומים במקדמים שלמים.

הוכחה[עריכת קוד מקור | עריכה]

יהי D תחום פריקות יחידה, ונניח ש- \ f(x),g(x) פולינומים בעלי מקדמים ב- D. ברור שגם מקדמי המכפלה \,f(x)\cdot g(x) הם ב-D. אם יש למקדמי המכפלה גורם משותף שאינו הפיך, אז יש להם גורם משותף ראשוני, p. מכיוון שהאידאל \ Dp ראשוני, חוג המנה \ D/Dp הוא שדה, ולכן חוג הפולינומים מעליו \ (D/Dp)[x] הוא תחום שלמות. לפי ההנחה fg=0 בחוג זה, ולכן f=0 או g=0 - מכאן שלפחות אחד הפולינומים אינו פרימיטיבי.