הלמה של גאוס (פולינומים)

הלמה של גאוס היא שמן המשותף של כמה טענות שהוכיח קרל פרידריך גאוס בתחום הפולינומים, שהעיקריות בהן:

• המכפלה של שני פולינומים פרימיטיביים, כלומר, פולינומים שלמקדמים שלהם אין גורם משותף פרט ל-1, היא גם פרימיטיבית.
• אם פולינום בעל מקדמים שלמים הוא פולינום אי פריק מעל חוג המספרים השלמים, אז הוא אי פריק גם מעל שדה המספרים הרציונליים.
• אם D תחום פריקות יחידה, אז גם חוג הפולינומים $\ D[x]$ תחום פריקות יחידה.

הטענות מתייחסות לפולינומים מעל תחום פריקות יחידה, ובפרט הן נכונות עבור פולינומים במקדמים שלמים.

הוכחה

יהי D תחום פריקות יחידה, ונניח ש- $\ f(x),g(x)$ פולינומים בעלי מקדמים ב- D. ברור שגם מקדמי המכפלה $\,f(x)\cdot g(x)$ הם ב-D. אם יש למקדמי המכפלה גורם משותף שאינו הפיך, אז יש להם גורם משותף ראשוני, p. מכיוון שהאידאל $\ Dp$ ראשוני, חוג המנה $\ D/Dp$ הוא שדה, ולכן חוג הפולינומים מעליו $\ (D/Dp)[x]$ הוא תחום שלמות. לפי ההנחה fg=0 בחוג זה, ולכן f=0 או g=0 - מכאן שלפחות אחד הפולינומים אינו פרימיטיבי.