הלמה של גרינוול

במתמטיקה, הלמה של גרינוול (על שמו של המתמטיקאי השבדי תומאס ה. גרינוול - Gronwall) היא אי-שוויון, המשמש בין היתר להוכחת היחידות במשפט הקיום והיחידות עבור הפתרונות של משוואה דיפרנציאלית רגילה.

ניסוח הלמה

תהי $\ f(x) \ge 0$ פונקציה רציפה ואי-שלילית, המקיימת עבור קבוע $\ A$ ועבור $\ x > x_0$ את האי-שוויון הבא:

$f(x) \le A \int_{x_0}^x f(t)dt$

אזי פונקציה זו היא בהכרח פונקציית האפס - $\ f(x)\equiv 0$.

הוכחה

ברור שמתקיים $A \ge 0$ כי אם לא נקבל באגף ימין ביטוי שלילי, כעת על ידי העברת אגף ימין ניתן לראות כי:

$\ f(x) - A \int_{x_0}^x f(t)dt \le 0$

זוהי משוואה דיפרנציאלית עבור:

• $\ g(x) = \int_{x_0}^x f(t)dt$
• $\ g'(x) = f(x)$ (לפי המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי)

על ידי כפל בגורם אינטגרציה $\ e^{-Ax}$ תתקבל המד"ר הבאה:

$\ e^{-Ax}g'(x) - A \cdot g(x)e^{-Ax} = (e^{-Ax}g(x))' \le 0$

על ידי ביצוע אינטגרציה $\ \int_{x_0}^x dt$ על שני צידי האי שוויון נקבל:

$\ e^{-Ax}g(x) = e^{-Ax} \int_{x_0}^x f(t)dt \le 0$

כידוע, פונקציית האקספוננט היא אי-שלילית ($\ e^{h(x)} \ge 0$ לכל $\ h(x)$) ולכן המסקנה היא:

$\int_{x_0}^x f(t) dt \le 0$

ולפי ההנחה מתקיים: $f(x) \le A \int_{x_0}^x f(t)dt \le 0$

אבל ההנחה היא גם כי $\ f(x) \ge 0$ ולכן בהכרח $\ f(x) = 0$