הלמה של גרינוול

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

במתמטיקה, הלמה של גרינוול (על שמו של המתמטיקאי השבדי תומאס ה. גרינוול - Gronwall) היא אי-שוויון, המשמש בין היתר להוכחת היחידות במשפט הקיום והיחידות עבור הפתרונות של משוואה דיפרנציאלית רגילה.

ניסוח הלמה[עריכת קוד מקור | עריכה]

תהי \ f(x) \ge 0 פונקציה רציפה ואי-שלילית, המקיימת עבור קבוע \ A ועבור \ x > x_0 את האי-שוויון הבא:

f(x) \le A \int_{x_0}^x f(t)dt

אזי פונקציה זו היא בהכרח פונקציית האפס - \ f(x)\equiv 0 .

הוכחה[עריכת קוד מקור | עריכה]

ברור שמתקיים A \ge 0 כי אם לא נקבל באגף ימין ביטוי שלילי, כעת על ידי העברת אגף ימין ניתן לראות כי:

\ f(x) - A \int_{x_0}^x f(t)dt \le 0
זוהי משוואה דיפרנציאלית עבור:

על ידי כפל בגורם אינטגרציה \ e^{-Ax} תתקבל המד"ר הבאה:

\ e^{-Ax}g'(x) - A \cdot  g(x)e^{-Ax} = (e^{-Ax}g(x))' \le 0
על ידי ביצוע אינטגרציה \ \int_{x_0}^x dt על שני צידי האי שוויון נקבל:

\ e^{-Ax}g(x) = e^{-Ax} \int_{x_0}^x f(t)dt \le 0

כידוע, פונקציית האקספוננט היא אי-שלילית (\ e^{h(x)} \ge 0 לכל \ h(x)) ולכן המסקנה היא:

\int_{x_0}^x f(t) dt \le 0

ולפי ההנחה מתקיים: f(x) \le A \int_{x_0}^x f(t)dt \le 0

אבל ההנחה היא גם כי \ f(x) \ge 0 ולכן בהכרח \ f(x) = 0