הלמה של נקאימה

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

קפיצה אל: ניווט, חיפוש

במתמטיקה, הלמה של נקאימה היא למה טכנית חשובה באלגברה ובגאומטריה אלגברית, המתייחסת למודולים נוצרים סופית מעל חוג R.

לפי הלמה, $\ J(R)\cdot M \neq M$ לכל מודול נוצר סופית ושונה מאפס, M, כאשר אם $\ J=J(R)$ הוא רדיקל ג'ייקובסון של החוג, השווה, על-פי ההגדרה, לחיתוך כל האידאלים השמאליים המקסימליים של R. הטענה חשובה במיוחד כאשר R חוג מקומי (אז J הוא האידאל המקסימלי שלו), אבל יש לה שימושים רבים אחרים.

מן הלמה נובע, למשל, שכאשר M נוצר סופית, $\ J\cdot M+N \neq M$ לכל תת-מודול $\ N<M$ ; כלומר, המכפלה $\ J(R)\cdot M$ קטנה כל-כך, עד שלא ניתן להגיע ממנה ל- M על ידי הוספת תת-מודול, אלא אם הוא שווה ל-M כולו.

בשפה של אלומות קוהרנטיות ניתן לנסח את הלמה כך:

תהי $\,\mathcal{F}$ אלומה קוהרנטית. אז הנבט בx, המסומן ב $\,\mathcal{F}_x$ , הוא 0 אם ורק אם קיימת סביבה U של x כך ש $\,\mathcal{F}|_{U} = 0$ .

[עריכה] הוכחה

נניח כי M הוא R-מודול נוצר סופית השונה מ0. מהלמה של צורן (שהיא ישימה רק מפני ש-M נוצר סופית) נובע כי קיים תת-מודול $\,M'\subset M$ מקסימלי (כלומר, $\,M'$ אינו מוכל באף תת-מודול אמיתי של M). מכך נובע כי $\,M/M'$ הוא מודול פשוט, כלומר הוא אינו מכיל תת-מודולים לא-טריוויאליים, ולכן קיים אידאל שמאלי מקסימלי m בR כך ש- $\,M/M'\cong R/m$ . אבל $\,J(R)\cdot R/m \subset m \cdot R/m = 0$ , ולכן $\,J(R)\cdot M/M' = 0$ . מכאן ש- $\,J(R)\cdot M \subseteq M' \ne M$ .