הלמה של פאטו

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

במתמטיקה, הלמה של פאטו מקשרת באמצעות אי שוויון בין הגבול התחתון של האינטגרל (על פי לבג) של סדרת פונקציות ובין האינטגרל של הגבול התחתון של אותה סדרה. בכך היא מאפשרת לקבל מידע מתכונות ההתכנסות של סדרת הפונקציות על תכונות ההתכנסות של סדרת האינטגרלים שלהן. הלמה נקראת על שם המתמטיקאי הצרפתי פייר פאטו.

שימוש מיידי של הלמה הוא בהוכחת משפט ההתכנסות הנשלטת.

ניסוח פורמלי[עריכת קוד מקור | עריכה]

אם \ f_1,f_2,\dots היא סדרה של פונקציות אי שליליות ומדידות, אז מתקיים אי השוויון הבא:

\int \liminf_{n\rightarrow\infty} f_n \leq \liminf_{n\rightarrow\infty} \int f_n

הוכחה[עריכת קוד מקור | עריכה]

הוכחת הלמה מסתמכת על משפט ההתכנסות המונוטונית, העוסק בסדרה עולה של פונקציות מדידות ואי שליליות. לצורך ההוכחה מגדירים סדרה חדשה של פונקציות, \ g_1,g_2,\dots באמצעות הסדרה המקורית, כך שהסדרה החדשה עונה על תנאי משפט ההתכנסות המונוטונית.

אם כן, מגדירים \ g_n=\inf\left\{f_n,f_{n+1},f_{n+2},\dots\right\}.

מיד ברור כי זוהי סדרה עולה של פונקציות (שכן האינפימום נלקח על קבוצה הולכת וקטנה). מכיוון שזו סדרה עולה, קיים לה גבול (אם מתירים לפונקציות לקבל גם אינסוף בתור ערך). כמו כן מתקיימות שתי התכונות הבאות:

  • \ g_n\le f_n (ולכן גם \ \int g_n\le \int f_n)
  • \ \lim_{n\to\infty}g_n=\liminf_{n\to\infty}f_n

באמצעות שתי תכונות אלו ומשפט ההתכנסות המונוטונית מקבלים:

\ \int \liminf_{n\rightarrow\infty} f_n=\int \lim_{n\to\infty}g_n=\lim_{n\to\infty}\int g_n=\liminf_{n\to\infty}\int g_n\le\liminf_{n\to\infty}\int f_n