הלמה של קנטור

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

בחשבון אינפיניטסימלי, הלמה של קנטור היא מקרה פרטי של משפט החיתוך של קנטור עבור \ \mathbb{R}.

הלמה אומרת כי אם שתי סדרות, עולה ויורדת, מתקרבות אחת אל השנייה מבלי לעבור אחת את השנייה, אך בצורה כזו שהמרחק ביניהן שואף לאפס, שתיהן מתכנסות לנקודה משותפת. בניסוח שקול ניתן לראות בבירור שזהו מקרה פרטי של משפט החיתוך של קנטור: בהינתן סדרה אינסופית של קטעים סגורים, כך שכל קטע מכיל את הבאים אחריו, וקוטרי הקטעים שואפים לאפס, קיימת נקודה אחת המשותפת לכל הקטעים.

אחד משימושיה של הלמה של קנטור הוא הוכחת משפט בולצאנו ויירשטראס ומשפט היינה בורל, ששקולים לה.

ניסוח פורמלי[עריכת קוד מקור | עריכה]

יהיו \ \left\{a_n\right\}_{n=1}^\infty,\left\{b_n\right\}_{n=1}^\infty שתי סדרות כך ש-\ a_n\le a_{n+1}\le b_{n+1}\le b_n. אם מתקיים \ \lim_{n\rarr\infty}\left(b_n-a_n\right)=0 אז שתי הסדרות מתכנסות ומתקיים \ \lim_{n\rarr\infty}a_n=\lim_{n\rarr\infty}b_n.

ניסוח שקול:

תהא \ \left\{[a_n,b_n]\right\}_{n=1}^\infty סדרה של קטעים סגורים, כך שמתקיים \ [a_{n+1},b_{n+1}]\subseteq[a_n,b_n]. אם מתקיים \ \lim_{n\rarr\infty}\left(b_n-a_n\right)=0 אז קיימת נקודה יחידה המשותפת לכל הקטעים.

הוכחה[עריכת קוד מקור | עריכה]

ראשית, נראה כי אכן קיימת נקודה:
יהי הקטע 
\,I_{n}
כך ש: 
I_{n+1} \subseteq I_n כלומר: [a_{n+1}, b_{n+1}] \subseteq [a_n, b_n]

לכן, \,a_n מונוטונית עולה ו\,b_n מונוטונית יורדת. על כן: b_n \geq b_{n+1} \geq a_{n+1} \geq a_n

ואז נטען כי:

\,b_n חסומה, כלומר: b_1 \geq  b_n \geq a_1 ולכן היא מתכנסת.

\,a_n חסומה, כלומר: b_1 \geq a_n \geq a_1 ולכן גם היא מתכנסת.

נסמן: \lim{a_n} = c_1 , \lim{b_n} = c_2, כלומר מתקיים:  b_n \geq b_{n+1} \geq c_2, c_1 \geq a_{n+1} \geq a_n

ולכן:  c_1, c_2 \in \bigcap^{\infty}_{k=1}{I_k}


כעת נוכיח שהנקודה יחידה:

נניח כי הנקודות שונות, ובלי הגבלת הכלליות, כי \,c_2 > \,c_1
לכן מתקיים: \forall{n}: b_n \geq b_{n+1} \geq \,c_2 > \,c_1 \geq a_{n+1} \geq a_n

מהנתון ניתן להסיק: I_{n+1} \subseteq I_{n} \Rightarrow b_n - a_n \rightarrow 0.

ואז: |b_n - a_n| \geq |c_2 - c_1| \geq 0. ולכן, על פי כלל הסנדוויץ' מתקיים: |c_2-c_1| \rightarrow 0 כלומר: \,c_1 = \,c_2

בסתירה להנחה כי הנקודות שונות.

לכן קיימת נקודה יחידה: c \in \bigcap^{\infty}_{k=1}{I_k}