המבנה הדק

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
תמונת התאבכות המראה את פיצול המבנה הדק עבור אטום דאוטריום.

בפיזיקה אטומית, תיקוני המבנה הדק מתארים את פיצול הקווים הספקטרליים של אטומים, בעיקר עקב אפקטים יחסותיים מסדר ראשון ואינטראקציית ספין-מסלול.

הספקטרום הראשי של אטום המימן הוא הספקטרום המצופה ללא תיקונים יחסותיים וללא התייחסות לספין והשפעותיו. עבור אטום המימן רמות האנרגיה בספקטרום הראשי מושפעות רק מהמספר הקוונטי הראשי, n ואילו מודל מדויק יותר יקח בחשבון גם אפקטים יחסותיים ואפקטים הקשורים בספין האלקטרון. כאשר מתחשבים באפקטים אלו נעלם ניוון רמות האנרגיה הנחזה ממשוואת שרדינגר והקווים הספקטרליים מתפצלים. גודל תיקון המבנה הדק קטן פי 2(), כאשר Z הוא המספר האטומי ו-α הוא קבוע המבנה הדק, מספר חסר יחידות השווה בקירוב ל1/137.

המבנה הדק מורכב משלושה איברי תיקון: איבר האנרגיה הקינטית (מכונה גם "איבר מסה"), איבר צימוד ספין-מסלול, ו"איבר דרווין". ההמילטוניאן המלא נתון על ידי:

H=H_{0}+H_{\mathrm{kinetic}}+H_{\mathrm{so}}+H_{\mathrm{Darwinian}}\!.

כאשר H_0 הוא ההמילטוניאן המקורי (כלומר ללא התחשבות בספין ותיקונים יחסותיים).

רקע[עריכת קוד מקור | עריכה]

Postscript-viewer-shaded.png ערך מורחב – אטום המימן

על פי המודל הקוונטי הבסיסי של אטום המימן, ישנם אורביטלים (פונקציות גל אלקטרוניות, או בשפה ציורית יותר מסלולי האלקטרונים) הממוספרים לפי שלושה מספרים קוונטיים: n,\ell, m: המספר n הוא המספר הקוונטי הראשי, ונקרא גם רמת האנרגיה, והוא היחיד (במודל הפשוט) אשר משפיע על אנרגיית הארביטלים. המספרים \ell, m מייצגים תנע זוויתי ואינם משפיעים על האנרגיה של האורביטל. מצב כזה, שבו מספר אלקטרונים חולקים את אותה רמת אנרגיה נקרא ניוון קוונטי. בפועל מתברר שרמות האנרגיה באטום אינן מנוונות, לפי ניסויי ספקטרוסקופיית בליעה אטומית שבהם מודדים את הפרש האנרגיה בין הרמות. במילים אחרות ישנו הבדל אנרגטי בין מצבים שונים בעלי אותו מספר קוונטי ראשי. מודלים מורכבים יותר, אשר לוקחים בחשבון תיקונים יחסותיים ואחרים למודל הפשוט, מנבאים בצורה מדויקת מאוד את רמות האנרגיה של אטום המימן, והמודל המדויק ביותר (מדויק לחלוטין עד כדי דיוק הניסויים כיום) הוא אלקטרודינמיקה קוונטית.

איבר האנרגיה הקינטית (איבר מסה)[עריכת קוד מקור | עריכה]

בדרך כלל, איבר האנרגיה קינטית של ההמילטוניאן נתון על ידי

.T=\frac{p^{2}}{2m}

כאשר m זו מסת החלקיק וp הוא התנע הקווי שלו. עם זאת, כאשר מתחשבים ביחסות פרטית יש להשתמש בצורה יחסותית של אנרגיה קינטית,

,T=\sqrt{p^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}-mc^{2}

כאשר האיבר הראשון הוא סך האנרגיה היחסותית והאיבר השני הוא אנרגיית המנוחה של האלקטרון (c היא מהירות האור). נפתח את הביטוי הזה לטור, בעזרת טורי טיילור ונקבל

.T=\frac{p^{2}}{2m}-\frac{p^{4}}{8m^{3}c^{2}}+\cdots

מכאן קיבלנו שהתיקון בסדר ראשון להמילטוניאן הוא:

.H_{\mathrm{kinetic}}=-\frac{p^{4}}{8m^{3}c^{2}}

נציב את התיקון שלנו כהפרעה בתורת ההפרעות ונחשב את התיקון הראשון לאנרגיה הנובע מהאפקטים היחסותיים:

E_{n}^{(1)}=\langle\psi^{0}\vert H'\vert\psi^{0}\rangle=-\frac{1}{8m^{3}c^{2}}\langle\psi^{0}\vert p^{4}\vert\psi^{0}\rangle=-\frac{1}{8m^{3}c^{2}}\langle\psi^{0}\vert p^{2}p^{2}\vert\psi^{0}\rangle

כש \psi^{0} היא פונקציית הגל הלא מופרעת. ניזכר בהמילטוניאן הלא מופרע ונשים לב כי

H^{0}\vert\psi^{0}\rangle=E_{n}\vert\psi^{0}\rangle
\left(\frac{p^2}{2m}+V\right)\vert\psi^0\rangle=E_n\vert\psi^0\rangle
p^{2}\vert\psi^{0}\rangle=2m(E_{n}-V)\vert\psi^{0}\rangle

ניתן להיעזר בתוצאה זו כדי לחשב תיקונים יחסותיים נוספים:

E_{n}^{(1)}=-\frac{1}{8m^{3}c^{2}}\langle\psi^{0}\vert p^{2}p^{2}\vert\psi^{0}\rangle
E_{n}^{(1)}=-\frac{1}{8m^{3}c^{2}}\langle\psi^{0}\vert (2m)^{2}(E_{n}-V)^{2}\vert\psi^{0}\rangle
E_{n}^{(1)}=-\frac{1}{2mc^{2}}(E_{n}^{2}-2E_{n}\langle V\rangle +\langle V^{2}\rangle )

עבור אטום המימן, V=\frac{e^{2}}{r}, \langle V\rangle=\frac{-e^{2}}{a_{0}n^{2}}, ו \langle V^{2}\rangle=\frac{e^{4}}{(l+1/2)n^{3}a_{0}^{2}} כאשר a_{0} הוא רדיוס בוהר, n הוא המספר הקוונטי הראשי ו l הוא המספר הקוונטי האזימוטלי. ולכן התיקון היחסותי לאטום המימן הוא:

E_{n}^{(1)}=-\frac{1}{2mc^{2}}\left(E_{n}^{2}+2E_{n}\frac{e^{2}}{a_{0}n^{2}} +\frac{e^{4}}{(l+1/2)n^{3}a_{0}^{2}}\right)=-\frac{E_{n}^{2}}{2mc^{2}}\left(\frac{4n}{l+1/2}-3\right)

כאשר:

 E_n = - \frac{e^2}{2 a_0 n^2}

בחישוב האחרון קיבלנו כי סדר הגודל של התיקון היחסותי לאנרגיה הוא  -9.056 \times 10^{-4}\ \text{eV}.

הערה: במציאות, p^{4} הוא לא אופרטור הרמיטי עבור אטומים דמויי אטום מימן במצב-s (l = 0). השימוש בתורת ההפרעות דורשת שההמילטוניאן המופרע יהיה הרמיטי. לכן ההוכחה למעלה לא לחלוטין ריגורוזית כש l = 0. למרות זאת מהשוואה עם התוצאה המדויקת (תוך שימוש במשוואת דיראק) מראה שהתוצאה למעלה נכונה עבור התיקון מסדר ראשון אפילו כש l = 0.

איבר צימוד ספין-מסלול[עריכת קוד מקור | עריכה]

H_{so}=\frac{1}{2} \left(\frac{Ze^2}{4\pi \epsilon_{0}}\right)\left(\frac{g_s}{2m_{e}^{2}c^{2}}\right)\frac{\vec L\cdot\vec S}{r^{3}}

איבר התיקון השני, איבר הצימוד ספין-ממסלול, נובע מעבודה במערכת היחוס של האלקטרון בה האלקטרון נייח ואילו הגרעין מקיף אותו לעומת מערכת היחוס הסטנדרטית בה האלקטרון מקיף את הגרעין. במצב זה ניתן להתייחס לגרעין המקיף את האלקטרון כלולאת זרם היוצרת שדה מגנטי \vec B. בנוסף לכך לאלקטרון עצמו יש תנע זוויתי אינטרינזי (ספין). בין השדה המגנטי \vec B לבין המומנט המגנטי \vec\mu_s יש צימוד ומכאן מתקבל התיקון הבא:

 \Delta E_{SO} = \xi (r)\vec L \cdot \vec S

נשים לב כי ישנו פקטור \frac {1}{2} לתיקון זה. הפקטור הזה נובע מכך שעברנו למערכת היחוס הלא אינרציאלית של האלקטרון. תוספת זו התגלתה על ידי לואלין תומאס והיא נקראת "פקטור תומאס" על שמו.

מכיוון ש

 \left\langle \frac {1}{r^3} \right\rangle = \frac {1}{n^3 a_0^3} \frac {1} {l (l+\frac{1}{2}) (l + 1)}
 \left\langle \vec L \cdot \vec S \right\rangle = \frac {\hbar^2} {2} ( j(j+1) - l(l+1) - s(s+1) )

ערך התצפית של ההמילטוניאן יהיה:

 \left\langle H_{SO} \right\rangle = \frac{E_n{}^2}{m_e c^2} \left( n \frac{j(j+1)-l(l+1)-\frac{3}{4}}{l \left( l+\frac{1}{2}\right) (l+1) } \right)

ולכן סדר הגודל של איבר התיקון צימוד ספין-מסלול הוא  \frac{Z}{n^3} 10^{-5}\text{ eV}.

הערה: רמות האנרגיה תלויות בפקטור הג'ירומגנטי, שהוא גודל הקושר בין המומנט המגנטי \mu לספין s והוא אחת מתכונות החלקיק. עבור אלקטרון הוא בקירוב 2, עבור פרוטון כ 2.79 ועבור נייטרון ערכו -1.91. רמות האנרגיה (n,l,s)=(n,0,1/2) ו (n,l,s)=(n,1,-1/2) זהות לאחר תיקון המבנה הדק, כאשר משתמשים בפקטור ג'ירומגנטי 2. עבור תיקונים בסדרים גבוהים יותר יש להשתמש בפקטור ג'ירומגנטי של 2.0031904622. מהכללה לכל סדר של התיקונים היחסותיים (משוואת דיראק) מוצאים שלזוג רמות האנרגיה האלו יש ניוון (רמות האנרגיה זהות), אך מאוחר יותר נתגלה שאין ניוון כתוצאה מתורת השדות הקוונטית.

איבר דרווין[עריכת קוד מקור | עריכה]

 E_{\mathrm{Darwin}}=\frac{\hbar^{2}}{8m_{e}^{2}c^{2}}\,4\pi\left(\frac{Ze^2}{4\pi \epsilon_{0}}\right)\delta^{3}\left(\vec r\right)

 E_{\mathrm{Darwin}}=\frac{\hbar^{2}}{8m_{e}^{2}c^{2}}\,4\pi\left(\frac{Ze^2}{4\pi \epsilon_{0}}\right)| \psi(0)^2|
 \psi (0) = 0 \text{ for } l > 0
 \psi (0) = \frac{1}{\sqrt{4\pi}}\,2 \left( \frac {Z}{n a_0} \right)^\frac {3}{2} \text{ for } l = 0
 E_{\mathrm{Darwin}}=\frac{2n}{m_e c^{2}}\,E_n^2

לכן איבר דרווין משפיע רק עבור מצב s. לדוגמה האיבר נותן למצב 2s את אותה אנרגיה כמו למצב 2p על ידי העלאת מצב 2s ב9.057\cdot\mbox{10}^{-5}eV.

איבר דרווין, על שם צ'ארלס גלטון דרווין, משנה את הפוטנציאל האפקטיבי בגרעין. ניתן לפרש את השפעתו כמריחת האינטרקציה בין האלקטרון לגרעין בשל אפקט הרעידה הקוונטית של האלקטרון.

תיקון לם, על שם ויליס לם, הוא תיקון המשפיע רק על מצבי-s ואין לבלבל בינו לבין איבר דרווין. איבר דרווין משווה את האנרגיה של מצבי-s ומצבי-p ואילו תיקון לם מעלה את האנרגיה של מצבי-s מעל האנרגיה של מצבי-p.

האפקט הכולל[עריכת קוד מקור | עריכה]

האפקט הכולל הוא סכום של שלושת האפקטים והוא ניתן על ידי הביטוי הבא [1]:

,\Delta E = -\frac{m_{e}c^{2}(Z\alpha)^{4}}{2n^3}\left( \frac{1}{j + 1/2} - \frac{3}{4n} \right)

כאשר j הוא המומנט הזוויתי הכולל כש (j = 1/2 אם l = 0 ו j = l \pm 1/2 אחרת).

נציין גם כי אל תוצאה זו הגיע ראשון ארנולד זומרפלד על בסיס תאוריית בוהר הישנה (התאוריה הקוונטית הישנה), לפני שפותחה תאוריית הקוונטים המודרנית.

תיקוני המבנה הדק.png

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

לקריאה נוספת[עריכת קוד מקור | עריכה]

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]

הערות שוליים[עריכת קוד מקור | עריכה]

  1. ^ Berestetskii, V. B.; E. M. Lifshitz, L. P. Pitaevskii (1982). Quantum electrodynamics. Butterworth-Heinemann. ISBN 978-0-7506-3371-0.