הסכם הסכימה של איינשטיין

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

הסכם הסכימה של איינשטיין הוא סימון מקוצר המשמש בחשבונות הכוללים אנליזה מתמטית ואלגברה של טנזורים. הסימון הומצא על ידי הפיזיקאי אלברט איינשטיין בשנת 1916.

טנזור הוא גודל העובר טרנספורמציה לפי כלל מסוים. הטנזור מאופיין בערכי רכיביו ובדרגה שלו. הדרגה של טנזור - באופן מעשי - היא מספר האינדקסים החופשיים שלו. למשל: את הווקטור \ \vec{v} = \left( v_x , v_y , v_z \right) במרחב האוקלידי \ \mathbb{R}^3 אפשר לרשום כ \ v^{i} כאשר האינדקס i רץ על הערכים i=x,y,z או i=1,2,3 (הסימון עם המספרים נוח יותר. יש לזכור ש 1 מתאים ל x וכו'). הביטוי \ v^{i} מייצג את הווקטור כקבוצה, כדי לקבל את רכיבי הווקטור יש להציב ערכים באינדקס. למשל, אם נציב i=2 נקבל ש \ v^{2} = v_y (2 כאן איננו מייצג חזקה אלא את האינדקס). אינדקס כזה נקרא "אינדקס חופשי".

באופן כללי, לטנזור יכולים להיות מספר אינדקסים: למשל \ A^{ij}_{k}.

לפי הסכם הסכימה, כאשר מופיע בביטוי טנזורי אותו אינדקס פעמיים - פעם אחת למעלה או פעם אחת למטה - זהו אינדקס קשור ולא מציבים בו, אלא סוכמים על כל הערכים האפשריים שלו, כלומר:

\ a^\lambda b_\lambda \equiv \sum_{\lambda}{a^\lambda b_\lambda}

כאשר הסכום רץ על כל הערכים האפשריים שהאינדקס יכול לקבל.

באופן כללי, יש הבדל בין אינדקס עליון ("טנזור קונטרה-ואריאנטי") לטנזור תחתון ("אינדקס קו-ואריאנטי") כאשר טנזור עם אינדקס תחתון מוגדר באופן הבא

\ a_{\lambda} = g_{\lambda \rho} a^{\rho} \equiv \sum_{\rho}{ g_{\lambda \rho} a^{\rho} }

כאשר \ g_{\lambda \rho} היא המטריקה של המרחב שבו חי הטנזור.

עבור מרחב אוקלידי שטוח המטריקה שווה למטריצת היחידה \ g_{ij} = \delta_{ij} = \delta^{i}_{j} (כאשר \ \delta_{ij} היא הדלתא של קרונקר) ולכן בפועל אין הבדל בין אינדקסים עליונים לאינדקסים תחתונים. במרחבים טנזוריים כלליים אין זה נכון ויש חשיבות להקפיד על המקום של האינדקס. כך לדוגמה בתורת היחסות הפרטית בה המטריקה היא \ g=diag(1,-1,-1,-1) מתקבל הסכם הסכימה הבא:

\ a^\mu b_\mu = \sum_{\mu=0}^{3}{a^\mu b_\mu} = a^0 b_0 + a^1 b_1 + a^2 b_2 + a^3 b_3 = a^0 b^0 - \left( a^1 b^1 + a^2 b^2 + a^3 b^3 \right)

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]