העתקה לינארית

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

באלגברה לינארית, העתקה לינארית או טרנספורמציה לינארית, היא העתקה אדיטיבית והומוגנית בין שני מרחבים וקטוריים (מעל אותו שדה). במלים אחרות, זוהי פונקציה ממרחב וקטורי למרחב וקטורי, השומרת על החיבור והכפל בסקלר. מכיוון שהעתקה לינארית שומרת על כל הפעולות, היא מהווה מורפיזם בקטגוריה של המרחבים מעל השדה.

העתקה בין מרחבים מממד סופי אפשר לתאר באמצעות מטריצה; כל מטריצה מתארת באופן חד-משמעי העתקה לינארית, וכל העתקה לינארית ניתנת לייצוג ככפל של מטריצה בווקטור במרחב (באופן פורמלי: מרחב ההעתקות ומרחב המטריצות איזומורפיים). תכונה שימושית זאת מאפשרת להסתכל על מטריצות כפונקציות בין מרחבים וקטורים, להסתכל על העתקות לינארית כמטריצות ולהקיש לגבי תכונות משותפות.

להעתקה לינארית ממרחב \ V אל עצמו, כלומר \ T:V \rightarrow V , נהוג לעתים לקרוא אופרטור לינארי, אך המושג אופרטור לינארי משמש גם לתיאור העתקה לינארית כלשהי.

הגדרה[עריכת קוד מקור | עריכה]

העתקה \ T ממרחב וקטורי \ V אל מרחב וקטורי \ W (מסמנים \ T:V \rightarrow W) תקרא העתקה לינארית או טרנספורמציה לינארית, אם מתקיימים התנאים הבאים:

  1. \ T משמרת חיבור (אדיטיביות): לכל שני וקטורים \ v,u השייכים למרחב \ V מתקיים: \ T(v+u)=T(v)+T(u)
  2. \ T משמרת כפל בסקלר (הומוגניות): לכל וקטור \ v השייך למרחב \ V, ולכל סקלר \ \alpha השייך לשדה מתקיים: \ T(\alpha v)=\alpha T(v)

משמעות התנאים הללו היא שאין זה משנה אם מפעילים את ההעתקה \ T (אשר מניבה את תמונת הפונקציה) על כל וקטור בנפרד ואחר כך מחברים את התמונות, או שמחברים את הווקטורים \ v,u ולאחר מכן מפעילים על הסכום את העתקה - התוצאה תהיה זהה, דהיינו נשמר החיבור (אדיטיביות). באותו אופן, אין זה משנה אם מפעילים את ההעתקה \ T על התוצאה של כפל הווקטור \ v בסקלר \ \alpha, או שמפעילים את ההעתקה על הווקטור \ v ולאחר מכן כופלים את התמונה בסקלר \ \alpha - הכפל נשמר (הומוגניות). שתי תכונות אלו מרכיבות את תכונת הלינאריות.

מההגדרה נובעת התכונה הכללית:

\ T \left( \sum_{k=1}^{n}{\lambda_k v_k} \right) = \sum_{k=1}^{n}{ \lambda_k {T(v_k)}}

מסקנה נוספת אשר נובעת מההגדרה, היא שהגרעין של העתקה לינארית לעולם אינו הקבוצה הריקה:

\ T(0) = 0

דוגמאות[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • אם  \ A היא מטריצה מסדר  \ m \times n , אז  \ A מגדירה העתקה לינארית מ- \mathbb R ^n ל- \mathbb R ^m כאשר היא פועלת על וקטורי עמודה ב  \mathbb R ^n על ידי כפל מטריצות מימין. זוהי דוגמה חשובה ושימושית ביותר, כיוון שניתן לייצג כל העתקה לינארית בין מרחבים מממד סופי בדרך זו.
  • טרנספורמציית האפס (פונקציה המתאימה לכל איבר בתחום את איבר האפס בטווח) וטרנספורמציית הזהות (פונקציה המתאימה לכל איבר בתחום את עצמו) הן טרנספורמציות לינאריות.
  • טרנספורמציות סיבוב ושיקוף הן טרנספורמציות לינאריות. לדוגמה, ב- \mathbb R ^2, הטרנספורמציה המשקפת כל וקטור יחסית לציר ה \,x היא טרנספורמצייה לינארית.
  • גזירה היא העתקה לינארית ממרחב הפונקציות הגזירות למרחב הפונקציות (מרחבים מממד אינסופי).

סוגי העתקות לינאריות[עריכת קוד מקור | עריכה]

יהיו \ V ו-\ W מרחבים וקטורים מעל שדה כלשהו \ F, ו-\ T העתקה לינארית מ-\ V ל-\ W.

אם מתקיים שוויון בין ממדי המרחבים \ V ו-\ W, אזי אם \ T היא חד חד ערכית, היא גם על, ולהיפך: אם \ T על, היא גם חד חד ערכית. בשני המקרים זה גורר ש-\ T היא איזומורפיזם. אומרים כי המרחב הווקטורי V הוא הופפיאני וקו-הופפיאני[דרושה הבהרה].

מרחב ההעתקות הלינאריות[עריכת קוד מקור | עריכה]

אוסף כל ההעתקות הלינאריות מ- \mathbb R ^n ל- \mathbb R ^m מהווה בעצמו מרחב וקטורי מממד \ m \cdot n . על מנת שמשפט זה יהיה מוגדר כהלכה, עלינו להגדיר חיבור של העתקות לינאריות וכפל בסקלר. את זאת נעשה בדרך הטריוויאלית. אם  \ T_1,T_2 הן העתקות לינאריות מ  \mathbb{R} ^n ל  \mathbb{R}^m , ו  \ \alpha הוא אבר בשדה אז נגדיר חיבור בין העתקות וכפל של העתקה בסקלר כך:

  •  \ (T_1+T_2)(v) = T_1(v) +T_2(v)
  •  (\alpha T_1)(v) = \alpha \cdot T_1(v)

גרעין ותמונה של העתקה לינארית[עריכת קוד מקור | עריכה]

תהי טרנספורמציה לינארית \ T:V \rightarrow W.

הגרעין של \ T, המסומן \ \ker(T) (מהמילה Kernel - גרעין), הוא קבוצה המכילה את כל הווקטורים ב\ V שהטרנספורמציה מעבירה לוקטור ה-\ 0 של \ W. כלומר:

 \  \ker (T) = \{v \in V | T(v) = 0 \}

משימוש בתכונות הטרנספורמציה הלינארית קל לראות כי הגרעין הוא מרחב וקטורי חלקי (תת-מרחב) ל-\ V - משמע, הוא סגור לחיבור וכפל בסקלר.

התמונה של \ T, המסומנת \ \operatorname{Im}(T) (מהמילה Image - תמונה) היא קבוצה המכילה את כל איברי \ W שקיים להם מקור ב-\ V, כלומר:

 \  \operatorname{Im} (T) = \{w \in W | w=T(v), v \in V \}

גם התמונה של טרנספורמציה לינארית סגורה לחיבור וכפל בסקלר, ולכן מהווה מרחב וקטורי, החלקי ל-\ W.

תכונה חשובה המתקיימת עבור העתקות היא משפט הממד עבור העתקות במרחב מממד סופי:

משפט הממד: לכל מרחב \ V מממד סופי ולכל טרנספורמציה לינארית \ T:V \rightarrow W מתקיים:

\ \dim(\operatorname{Im}(T))+\dim(\ker(T))=\dim(V).

נשים לב כי אין תלות כלל בממד של \ W, אלא רק בממד של \ V, שהוא התחום.

הוכחה: יהיו  \{ \ v_1,..., \ v_n \} הבסיס של  \ \ker(T) ויהיו  \{ \ u_1,..., \ u_m \} וקטורים כך ש-  \{\ T(u_1),..., \ T(u_m) \} מהווים בסיס ל \ \operatorname{Im}(T)

צ"ל:  \{\ v_1,..., \ v_n, \ u_1,..., \ u_m \} מהווה בסיס ל-V.

נראה כי הקבוצה בת"ל (בלתי תלויה לינארית): יהיו  \ a_1,...,\ a_n,\ b_1,...,\ b_m סקלרים כך ש- \sum_{i=1}^{n}{ a_i v_i} + \sum_{j=1}^{m}{ b_j u_j} = 0_V

לכן בהכרח 0_W = \ T (0_V) = \ T (\sum_{i=1}^{n}{ a_i v_i} + \sum_{j=1}^{m}{ b_j u_j}) = \sum_{i=1}^{n}{ a_i \ T (v_i)} + \sum_{j=1}^{m}{ b_j  \ T (u_j)} = 0 + \sum_{j=1}^{m}{ b_j  \ T (u_j)} = \sum_{j=1}^{m}{ b_j  \ T (u_j)}

לכן, מכיוון ש-  \{\ T(u_1),..., \ T(u_m) \} בת"ל, לכל \ j מתקיים \ b_j = 0

נציב ב-\sum_{i=1}^{n}{ a_i v_i} + \sum_{j=1}^{m}{ b_j u_j} = 0_V ונקבל כי  0_V = \sum_{i=1}^{n}{ a_i v_i} + \sum_{j=1}^{m}{ b_j u_j} = \sum_{i=1}^{n}{ a_i v_i}

ומכיוון ש-  \{ \ v_1,..., \ v_n \} בת"ל נקבל כי לכל \ i מתקיים כי \ a_i = 0

כלומר, רק עבור הסקלרים הטריביאליים הקומבינציה של הקבוצה  \{\ v_1,..., \ v_n, \ u_1,..., \ u_m \} שווה \ 0_V ולכן הקבוצה בת”ל מעל F.

נראה כי הקבוצה פורשת: יהי \vec v \in \ V, מתקיים \ T(\vec v) \in \ \operatorname{Im}(T) לכן, קיימים סקלרים \ b_1,...,\ b_m כך ש- \sum_{j=1}^{m}{ b_j T (u_j)} = \ T (\vec v).

נעביר אגפים ונקבל כי 0_W = \ T (\vec v) - \sum_{j=1}^{m}{ b_j T (u_j)} = \ T (\vec v - \sum_{j=1}^{m}{ b_j u_j} ) ולכן  \vec v - \sum_{j=1}^{m}{ b_j u_j} \in \ \ker(T)

לכן, קיימים סקלרים  \ a_1,..., \ a_n כך ש-  \vec v - \sum_{j=1}^{m}{ b_j u_j} = \sum_{i=1}^{n}{ a_i v_i} ולכן \vec v = \sum_{i=1}^{n}{ a_i v_i} + \sum_{j=1}^{m}{ b_j u_j}

ולכן הקבוצה  \{\ v_1,..., \ v_n, \ u_1,..., \ u_m \} פורשת את V.

לכן הקבוצה  \{\ v_1,..., \ v_n, \ u_1,..., \ u_m \} מהווה בסיס עבור V ולכן מתקיים \ \dim(\operatorname{Im}(T))+\dim(\ker(T))= \ n + \ m =\dim(V).