העתקה רציונלית

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
Nuvola apps edu mathematics blue-p.svg

בערך זה
נעשה שימוש
בסימנים מוסכמים
מתחום המתמטיקה.
להבהרת הסימנים
ראו סימון מתמטי.

העתקה רציונלית (באנגלית rational map) היא סוג של פונקציה חלקית בין יריעות אלגבריות. כאן נניח שהיריעות הן אי-פריקות מעל שדה סגור אלגברית k.

באופן אינטואיטיבי, העתקה רציונלית היא מורפיזם של יריעות המוגדר רק על קבוצה פתוחה צפופה לא ריקה של יריעת התחום (כלומר, היא פונקציה חלקית). להעתקות רציונלית יש חשיבות בגאומטריה אלגברית והתחומים המשיקים.

הגדרה[עריכת קוד מקור | עריכה]

העתקה רציונלית f : X \to Y בין שתי יריעות X ו-Y היא מחלקת שקילות של זוגות ( f_U , U ) כך ש-f_U היא מורפיזם של יריעות מקבוצה פתוחה לא-ריקה U (ומאחר שהיא פתוחה במרחב אי-פריק היא גם צפופה בו) ל-Y. שני זוגות (f_U, U) ו- (f_{U'}', U') נקראים שקולים אם הפונקציות שלהן מזדהות על חיתוך תחומיהן U \cap U' (שהוא לא ריק משום ש-X יריעה אי-פריקה), כלומר: \forall x \in U \cap U' :  f_U(x) = f_{U'}'(x). כדי להוכיח שזה אכן יחס שקילות, מסתמכים על הלמה הבאה: אם שני מורפיזמים שווים על קבוצה פתוחה צפופה, אזי הם שווים.

העתקה רציונלית f : X \to Y נקראת העתקה בירציונלית אם היא דומיננטית (כלומר: \overline{ \mathrm{Im}(f) } = Y) וקיימת העתקה רציונלית g : Y \to X כך שהרכבתן מחזירה את העתקת הזהות (על היריעה המתאימה, תלוי בסדר ההרכבה). שתי יריעות נקראות שקולות בירציונלית או איזומורפיות בירציונלית אם קיימות ביניהן העתקות בירציונליות כנ"ל. יש לציין שזו תכונה חלשה יותר מאיזומורפיזם רגיל של יריעות.

יישומים וחשיבות[עריכת קוד מקור | עריכה]

החשיבות של העתקות בגאומטריה אלגברית היא הקשר בין העתקות כאלה לשדות הפונקציות של היריעות X ו-Y שנסמן k(X) ו-k(Y) בהתאמה.

דוגמאות[עריכת קוד מקור | עריכה]

פונקציה רציונלית[עריכת קוד מקור | עריכה]

פונקציה רציונלית ב-k(x) היא מקרה פרטי של העתקה רציונלית. כל פונקציה רציונלית ניתן להציג כמנת פולינומים f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)} כך ש-P,Q \in k[x] ו-Q הוא לא פולינום האפס. קל לראות ש-f מוגדרת על הקבוצה הפתוחה D(Q) = \left\{ x \in k | Q(x) \ne 0 \right\} \subset k בטופולוגיית זריצקי.

שקילות בירציונלית[עריכת קוד מקור | עריכה]

איור 1

יהי A מעגל שרדיוסו שווה ל-1 ויהי B הישר הממשי שמורכבים כמתואר באיור 1. נתאים בין נקודות המעגל לנקודות הישר באופן הבא: נמקם את המעגל ברדיוס 1 במערכת צירים קרטזית x-y כך שמרכזו נמצא בנקודה (0,0) וקצהו העליון הוא ב-(0,1). בנקודה הנמוכה ביותר משיק המעגל לקו ישר שנסמנו כציר ה-t. קרן יוצאת מ-(0,1) וחותכת את המעגל בנקודה (x,y), שצבועה באדום, ממשיכה ואז חותכת את הישר t בנקודה t, שצבועה בכחול. באמצעות קרן זו מתאימים בין הנקודות (x,y) לנקודות t. אפשר לתאר התאמה זו באמצעות העתקה (בי)רציונלית.

קיימת העתקה בירציונלית מ-A ל-B המוגדרת על ידי

 \begin{align} a : A \to B \\ t = \frac{2x}{1-y} \end{align}

העתקה זו מוגדרת לכל (x,y) \in A פרט ל-y=1 וניתן לראות ש-\overline{\mathrm{Im}(a)} = B.
ההעתקה הבירציונלית ההפכית היא

 \begin{array}{c} b : B \to A \\ (x,y) = \left( \frac{4t}{t^2 + 4} \ , \ \frac{t^2-4}{t^2 + 4} \right) \end{array}

(אפשר לבדוק בחישוב ישיר שבהגדרה זו אכן מתקיים x^2(t) + y^2(t) = 1 כנדרש).

בחישוב ישיר ניתן לראות ש-

b \circ a = \mathrm{id}_{A-\{(0,1)\}}
a \circ b = \mathrm{id}_B

לכן, A ו-B איזומורפיים בירציונלית, אך הם לא איזומורפיים במובן הרגיל, שכן המעגל הוא קבוצה קומפקטית חסומה ואילו הישר הממשי לא.