העתקת מביוס

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

באנליזה מרוכבת, העתקת מביוס או טרנספורמציית מביוס היא פונקציה מרוכבת מהצורה T(z)=\frac{az+b}{cz+d} כאשר  \ a,b,c,d הם מקדמים מרוכבים כך ש  \ ad-bc \ne 0.

העתקות מביוס קרויות על שם המתמטיקאי הגרמני אוגוסט פרדיננד מביוס.

סקירה כללית ותכונות[עריכת קוד מקור | עריכה]

כל העתקת מביוס היא העתקה רציפה, חד חד ערכית ועל מהמישור המרוכב המורחב לעצמו. הרחבת המישור המרוכב נעשית על ידי הוספת נקודה באינסוף (המישור המורחב נקרא ספירת רימן ומסומן \widehat {\mathbb{C}} = \mathbb{C} \cup\{ \infty\}). העתקות מביוס הן העתקות מרומורפיות בכל \mathbb{C}, והולמורפיות בכל ספירת רימן. הרציפות והאנליטיות באינסוף מושגות על ידי הגדרת הפונקציה בצורה האינטואיטיבית  T \left ( \frac{-d}{c} \right ) = \infty, T(\infty)=\frac{a}{c}. במקרה שבו  \ c = 0 הפונקציה היא פשוט לינארית ומוגדרת על כל  \widehat {\mathbb{C}} כאשר   \ T(\infty)=\infty.

  • הרכבה של העתקות מביוס היא גם העתקת מביוס, ולכן העתקות מביוס מהוות חבורה, וחבורת העתקות מביוס מהוות את חבורת האוטומורפיזמים של ספירת רימן, ומסומנת לעתים \mbox{Aut}(\widehat {\mathbb{C}}). במינוח של גאומטריה דיפרנציאלית, נאמר כי העתקות מביוס הן כל הדיפאומורפיזמים של ספירת רימן לעצמה. ישנן תתי חבורות של העתקות מביוס המהוות את האוטומורפיזמים של משטחי רימן אחרים, כמו המישור המרוכב או המישור ההיפרבולי, ועל כן העתקות מביוס מהוות חלק חשוב בתאוריה של משטחי רימן.
  • העתקת מביוס מעתיקה מעגלים וישרים ב \mathbb{C} למעגלים וישרים, אך לא בהכרח מעתיקה מעגל למעגל וישר לישר. ניתן לנסח תכונה זו בצורה פשוטה ואלגנטית יותר, אם מרחיבים את הדיון לספירת רימן כולה(\widehat {\mathbb{C}}). נשים לב כי גם מעגלים וגם ישרים ב \mathbb{C} מתאימים למעגלים ב \widehat {\mathbb{C}}, כאשר ישרים ב \mathbb{C} מתאימים למעגלים העוברים דרך הקוטב הצפוני. לכן, מעל ספירת רימן ניתן לומר בפשטות כי העתקת מביוס מעתיקה מעגלים למעגלים.
  • העתקת מביוס שומרת על היחס הכפול. היחס הכפול של 4 נקודות (שונות) ב \mathbb{C} מוגדר כך \ [z_1, z_2, z_3, z_4] = \frac{(z_1-z_3)(z_2-z_4)}{(z_1-z_4)(z_2-z_3)}, ולכל העתקת מביוס מתקיים \ [z_1, z_2, z_3, z_4] =[T (z_1), T(z_2), T(z_3), T(z_4)] .
  • לכל העתקת מביוס שאינה הזהות יש לפחות נקודת שבת אחת, ולכל היותר שתיים. משמע, אם העתקת מביוס מקבעת שלוש נקודות, אז היא העתקת הזהות.

העתקות מביוס כמטריצות[עריכת קוד מקור | עריכה]

אם נרכיב את ההעתקה T_1(z)=\frac{az+b}{cz+d} עם ההעתקה T_2(z)=\frac{a'z+b'}{c'z+d'}, תתקבל העתקה T_3(z)=T_1 \circ T_2=\frac{(a'a+c'b)z+(b'a+d'b)}{(a'c+c'd)z+(b'c+d'd)}. ניתן לזהות קשר הדוק עם כפל המטריצות \begin{pmatrix} 
a & b\\
c & d 
\end{pmatrix} 
\begin{pmatrix} 
a' & b'
\\
c' & d' 
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 
a'a+c'b &  b'a+d'b\\
a'c+c'd  &  b'c+d'd
 \end{pmatrix}.

נשים לב גם כי כפל בסקלר של כל המקדמים אינו משנה את ההעתקה - \frac{az+b}{cz+d}=\frac{\lambda az+\lambda b}{\lambda cz+\lambda d}. בנוסף, הדרישה  \ ad-bc \ne 0 היא בדיוק הדרישה שהמטריצה תהיה הפיכה. לכן, ניתן לזהות העתקות עם העתקות לינאריות מ \mathbb{C}^2 ל \mathbb{C}^2, עד כדי כפל במטריצה סקלרית. כלומר, \ \mbox{Aut}(\widehat {\mathbb{C}}) \cong \operatorname{PGL}_2(\mathbb{C}), (כאשר \ \operatorname{PGL_2} היא חבורת המטריצות ההפיכות, מודולו המטריצות הסקלריות).