הפונקציות הטריגונומטריות ההפוכות

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
Nuvola apps edu mathematics blue-p.svg

בערך זה
נעשה שימוש
בסימנים מוסכמים
מתחום המתמטיקה.
להבהרת הסימנים
ראו סימון מתמטי.

במתמטיקה, הפונקציות הטריגונומטריות ההפוכות הן פונקציות המתקבלות על ידי הפיכת הפונקציות הטריגונומטריות היסודיות.

הפונקציות הטריגונומטריות אינן חד-חד ערכיות בתחום הגדרתן, לכן יש לצמצם את תחומן כדי להגדיר את הפונקציות ההפוכות.

תכונות יסודיות[עריכת קוד מקור | עריכה]

  \arcsin(x) \, \arccos(x) \,
הפונקציה ההפיכה של \ \sin(x)
(סינוס)
\cos(x) \,
(קוסינוס)
דרך נוספת לרשום את הפונקציה \ \sin^{-1}(x) \cos^{-1}(x) \,
תחום הגדרה -1 \le x \le 1 -1 \le x \le 1
תמונה -\frac{\pi}{2} \le f(x) \le + \frac{\pi}{2}  0 \le f(x) \le \pi
הכללה לכל הישר הממשי sin y = x אם ורק אם y = arcsin x + 2kπ

או y = π − arcsin x + 2kπ עבור שלם k כלשהו.

cos y = x אם ורק אם y = arccos x + 2kπ

או y = 2π − arccos x + 2kπ עבור שלם k כלשהו.

מונוטוניות מונוטונית עולה ממש מונוטונית יורדת ממש
סימטריה פונקציה אי-זוגית: \arcsin(-x) = -\arcsin(x)\! \arccos(x) = \pi - \arccos(-x)\!
אסימפטוטות אין אין
שורשים x = 0\! x = 1\!
קיצון מקומי Minimum \left( -1|- \frac {\pi} 2 \right)
Maximum \left(1|\frac {\pi} 2 \right)
Minimum \left(1|0\right)
Maximum \left(-1|\pi\right)
גרף Arcsin.png Arccos function.png
למידע נוסף Arcsine, באתר MathWorld (באנגלית) Arccosine, באתר MathWorld (באנגלית)

\arctan(x) \, \arccot(x) \,
הפונקציה ההפיכה של \tan(x) \,
(טנגנס)
\cot(x) \,
(קוטנגנס)
דרך נוספת לרשום את הפונקציה \ \tan^{-1}(x) \cot^{-1}(x) \,
תחום הגדרה  -\infty < x < \infty  -\infty < x < \infty
תמונה -\frac{\pi}{2} < f(x) < \frac{\pi}{2} 0 < f(x) < \pi \,
הכללה לכל הישר הממשי tan y = x אם ורק אם y = arctan x + kπ עבור שלם k כלשהו. cot y = x אם ורק אם y = arccot x + kπ עבור שלם k כלשהו.
מונוטוניות מונוטונית עולה ממש מונוטונית יורדת ממש
סימטריה פונקציה אי-זוגית: \arctan(-x) = -\arctan(x) \, \arccot (x) = \pi - \arccot(-x) \,
אסימפטוטות f(x) \to\pm \frac{\pi}{2} כאשר x \to\pm\infty f(x) \to \pi כאשר x \to -\infty
f(x) \to 0 כאשר x \to + \infty
שורשים x = 0 אין
קיצון מקומי אין אין
גרף Arctangent.svg Arccotangent.svg
למידע נוסף Arctangent, באתר MathWorld (באנגלית) Arccotangent, באתר MathWorld (באנגלית)

  \arcsec(x) \, \arccsc(x) \,
הפונקציה ההפיכה של \sec(x) \, \csc(x) \,
דרך נוספת לרשום את הפונקציה \ \sec^{-1}(x) \csc^{-1}(x) \,
תחום הגדרה  -\infty < x \le -1 \, , \, 1 \le x < +\infty  -\infty < x \le -1 \, , \, 1 \le x < +\infty
תמונה  0 \le f(x) < \frac{\pi}{2} \, , \, \frac{\pi}{2} < f(x) \le \pi  - \frac{\pi}{2} \le f(x) < 0 \, , \, 0 < f(x) \le \frac{\pi}{2}
הכללה לכל הישר הממשי sec y = x אם ורק אם y = arcsec x + 2kπ

או y = 2π − arcsec x + 2kπ עבור שלם k כלשהו.

csc y = x אם ורק אם y = arccsc x + 2kπ

או y = π − arccsc x + 2kπ עבור שלם k כלשהו.

מונוטוניות בכל אחד ממרכיבי תחום ההגדרה הפונקציה עולה ממש בכל אחד ממרכיבי תחום ההגדרה הפונקציה יורדת ממש
סימטריה \operatorname{arcsec}\,(x)=\pi -\operatorname{arcsec}\,(-x) פונקציה אי-זוגית: \operatorname{arccsc}\,(x)=-\operatorname{arccsc}\,(-x)
אסימפטוטות f(x) \to \frac{\pi}{2} כאשר x \to\pm\infty f(x) \to 0 כאשר x \to\pm\infty
שורשים x = 1\!\, אין
קיצון מקומי Minimum \left(1|0\right)
Maximum \left(-1|\pi\right)
Minimum \left(-1|-\frac\pi2\right)
Maximum \left(1|\frac\pi2\right)
גרף Arcsecant.svg Arccosecant.svg
למידע נוסף Arcsecant, באתר MathWorld (באנגלית) Arccosecant, באתר MathWorld (באנגלית)

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]