הפוסטולטים של תורת הקוונטים

ערך זה עוסק בהנחות ובעקרונות היסוד של תורת קוונטים לא יחסותית כפי שמקובל להציגם בגישה המודרנית. לשם הבנת הערך רצוי להכיר את סימון דיראק.

מצב המערכת

ערך מורחב – מצב קוונטי

מצב של מערכת קוונטית ניתן לאפיון על ידי וקטור במרחב הילברט מופשט כלשהו. וקטור זה 'מכיל' את כל המידע הקיים על מצב המערכת במובן שיתואר להלן. סימון מקובל לוקטור זה הוא $|\psi\rangle$, והוא מכונה וקטור ket. דוגמאות לוקטורי מצב:

• $|x_0\rangle$ מערכת חד ממדית עם חלקיק הממוקם בנקודה $\ x= x_0$.
• $|\vec p\rangle$ חלקיק עם תנע $\vec p$.
• $| E_n \rangle$ חלקיק הנמצא ברמת האנרגיה ה $\ n$-ית בבור פוטנציאל כלשהו.

מרחב ההילברט בו 'חי' וקטור המצב הוא מרחב וקטורי בעל מכפלה פנימית מעל המרוכבים. המכפלה הפנימית בין מצבים $|\psi\rangle$ ו- $|\phi\rangle$ מסומנת ב-$\langle\phi|\psi\rangle$. שני וקטורים הנבדלים זה מזה על ידי כפל בסקלר מייצגים אותה מערכת פיזיקלית. נהוג לעבוד עם מצבים מנורמלים המקיימים $\langle\psi|\psi\rangle=1$. במקרה זה עדיין שני מצבים הנבדלים זה מזה בפאזה $e^{i\varphi}$ יתארו אותה מערכת פיזיקלית.

גדלים מדידים

לכל גודל פיזיקלי מדיד מתאים אופרטור הרמיטי הפועל במרחב ההילברט. לדוגמה לגודל המדיד תנע מתאים אופרטור התנע המסומן לרוב כ$\hat p$, ולאנרגיה מתאים אופרטור ההמילטוניאן המסומן לרוב ב $\mathcal{H}$. הוקטורים העצמיים של האופרטורים (מכונים גם מצבים עצמיים) מהווים מערכת אורתונורמלית שלמה.

מדידה

הערכים היחידים שניתן לקבל במדידת גודל פיזיקלי כלשהו הם הערכים עצמיים של האופרטור המתאים לגודל זה. במדידה ניתן לקבל כל אחד מן הערכים בהסתברות מסוימת, התלויה במצב המערכת הנמדדת, $|\psi\rangle$, ונקבעת באופן הבא:

נניח שהאופרטור (ההרמיטי) $\ A$ מתאר גודל פיזיקלי מדיד כלשהו. נסמן את המצבים העצמיים של האופרטור ב- $| a_i,\gamma \rangle$. בסימון זה:

• $\ a_i$ הוא הערך העצמי, כלומר מתקיים $A| a_i,\gamma \rangle=a_i| a_i,\gamma \rangle$,
• $\ \gamma$ הוא אינדקס נוסף המבדיל בין מצבים 'מנוונים' (בעלי אותו ערך עצמי). מצבים אלו פורשים תת-מרחב עצמי של $\ A$.

נגדיר אופרטורי הטלה לתתי המרחבים העצמיים של $\ A$:

$\Lambda_i = \sum_\gamma | a_i,\gamma \rangle \langle a_i,\gamma|$.

ההסתברות לקבל במדידה את הערך $\ a_i$ נתונה על ידי:

$\langle \psi | \Lambda_i | \psi \rangle = \sum_\gamma |\langle a_i,\gamma|\psi\rangle|^2$

את התוצאה הנ"ל ניתן להכליל למקרה בו ספקטרום הערכים העצמיים הוא רציף.

פעולת המדידה משנה את המצב ומותירה רק רכיבים שקונסיסטנטים עם התוצאה שהתקבלה במדידה. כלומר אם במדידה התקבל הערך $\ a_j$ המערכת תעבור למצב:

$| \psi \rangle \rightarrow \frac{1}{ \langle \psi | \Lambda_j | \psi \rangle} \Lambda_j |\psi \rangle$

דינמיקה קוונטית

ערך מורחב – דינמיקה קוונטית

ההתפתחות בזמן שלמערכת קוונטית מתוארת בעזרת אופרטור ההתפתחות בזמן $\ U(t,t_0)$ המקדם את המערכת מזמן $\ t_0$ לזמן $\ t$. זהו אופרטור אוניטרי המקיים את משוואת שרדינגר:

$i \hbar \frac{\partial}{\partial t} U(t,t_0)= \mathcal{H} U(t,t_0)$

עם תנאי ההתחלה $\ U(t,t_0) = 1$.

יש כמה אפשרויות להסביר באיזה מובן אופרטור ההתפתחות בזמן מקדם את המערכת בזמן. אפשרויות הסבר אלו מכונות תמונות, והבולטות שבהן הן תמונת שרדינגר ותמונת הייזנברג.

בתמונת שרדינגר, מצב המערכת משתנה בזמן לפי:

$|\psi(t)\rangle = U(t,t_0)|\psi(t_0)\rangle$

בעוד שהאופרטור המייצגים גדלים פיזיקליים קבועים בזמן.

בתמונת הייזנברג, מצב המערכת קבוע בזמן בעוד שהאופרטורים מתפתחים על פי:

$A(t)=U^{\dagger}(t,t_0) A(t_0) U(t,t_0)$

ראו גם

• מכניקת הקוונטים
• סימון דיראק
• בעיית המדידה
• פרשנות קופנהגן

לקריאה נוספת

• Claude Cohen-Tannoudji, Quauntum Mechanics (במיוחד פרק 3)
• J.J. Sakurai, Modern Quantum Mechanics