הפרדוקס של ברטראן

שיטה 1 - "נקודת קצה אקראית": המיתר האקראי יוצא מקודקוד המשולש החסום במעגל אל נקודת קצה על היקף המעגל

שיטה 2 - "רדיוס אקראי": המיתר האקראי הוא אנך אמצעי לרדיוס של המעגל החוסם

שיטה 3 - "נקודת אמצע אקראית": המיתר האקראי נוצר על ידי קו ישר היוצא מנקודה אקראית בתוך שטח המעגל

הפרדוקס של ברטראן הוא מעין-פרדוקס שנוסח על ידי ז'וזף ברטראן, ועוסק בפרשנות הקלאסית של תורת ההסתברות. ברטראן, שפרסם את הדוגמא בספרו Calcul des probabilités, בשנת 1888, הדגים תופעה יסודית למרחבים אינסופיים. ההסתברות של מאורע תלויה בתהליך היוצר את התופעה האקראית, ואפילו את המושג התפלגות אחידה - כביכול, לכל האפשרויות יש אותה הסתברות - אפשר לפרש בדרכים שונות.

ניסוח הבעיה

משולש שווה צלעות חסום במעגל. אם נעביר מיתר אקראי במעגל, מה ההסתברות שהמיתר יהיה ארוך יותר מצלע המשולש?

ברטראן הציע שלוש שיטות שונות לפתרון הבעיה:
הדגמה בתרשימים, בהם יסומנו באדום מיתרים ארוכים יותר מצלע המשולש החסום במעגל, ובכחול - מיתרים קצרים יותר

1. "נקודת קצה אקראית" - בוחרים נקודה על היקף המעגל המשמשת גם כקודקוד למשולש החסום. בוחרים נקודה נוספת על היקף המעגל ומעבירים בין שתי הנקודות קו ישר. אם הנקודה הנוספת נמצאת על הקשת שמול הקודקוד (שאורכה שליש בדיוק מהיקף המעגל) - הרי שהמיתר ארוך יותר מאורך צלע המשולש, ובכל יתר המקרים המיתר יהיה קצר יותר. מכאן שההסתברות שהמיתר יהיה ארוך יותר מצלע המשולש היא $\tfrac{1}{3}$.
2. "רדיוס אקראי" - בונים רדיוס במעגל ובונים מיתרים אנכיים לאותו רדיוס. מיתר יהיה ארוך יותר מצלע של המשולש החסום במעגל - בתנאי שהוא קרוב יותר למרכז המעגל מאשר צלע של המשולש - מה שנכון למחצית המיתרים. לכן ההסתברות שהמיתר יהיה ארוך יותר מצלע המשולש היא $\tfrac{1}{2}$.
3. "נקודת אמצע אקראית" - חוסמים מעגל במשולש. בוחרים נקודה אקראית בתוך המעגל הגדול (החוסם), ומשרטטים ממנה מיתר המאונך לרדיוס העובר דרך הנקודה. אם הנקודה שנבחרה נמצאת בתוך המעגל החסום, אז המיתר שיוצא ממנה יהיה ארוך יותר מאשר צלע של המשולש, ואם הנקודה שנבחרה איננה נמצאת בתוך המעגל החסום, אז המיתר שיוצא ממנה יהיה קצר יותר. הרדיוס של המעגל החסום הוא חצי מהרדיוס של המעגל החוסם, ולכן שטחו של המעגל החסום הוא $\tfrac{1}{4}$ משטח המעגל החוסם. זהו ההסתברות שנקודה אקראית בתוך המעגל החוסם תמצא גם בתוך המעגל החסום, ועל כן ההסתברות שמיתר יהיה ארוך יותר מצלע של המשולש היא $\tfrac{1}{4}$.

הסבר לפרדוקס

ההסתברות שהמיתר יהיה ארוך יותר מצלע המשולש החסום אכן תלויה בשיטה שנבחרה. ללא הגדרת התהליך שבו נבחר המיתר אין משמעות לשאלה מהי ההסתברות הנכונה.

צפיפות מיתרים על פי שיטה 1 - "נקודת קצה אקראית"

צפיפות מיתרים על פי שיטה 2 - "רדיוס אקראי"

צפיפות מיתרים על פי שיטה 3 - "נקודת אמצע אקראית"

קישורים חיצוניים

• מדיה וקבצים בנושא הפרדוקס של ברטראן בוויקישיתוף