הצגה לינארית

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

בתורת החבורות, הצגה לינארית היא הצגה של חבורה נתונה כחבורת מטריצות (או, באופן כללי יותר, כחבורה של העתקות הפיכות של מרחב הילברט), באמצעות הומומורפיזם מן החבורה לחבורת ההעתקות הלינאריות של מרחב וקטורי מעל שדה כלשהו. את תורת ההצגות, העוסקת בהצגות לינאריות, פיתח פרדיננד גאורג פרובניוס בסוף המאה ה-19, והיא הפכה להיות ענף מרכזי בתורת החבורות, בעל יישומים רבים במתמטיקה ומחוץ לה.

חבורה שיש לה הצגה נאמנה (כזו שבה ההעתקה מן החבורה אל ההעתקות הלינאריות אינה מאבדת מידע) נקראת חבורה לינארית.

שקילות של הצגות והצגות אי-פריקות[עריכת קוד מקור | עריכה]

באופן פורמלי, הצגה היא הומומורפיזם \ G \rightarrow \operatorname{GL}(V), כאשר G היא החבורה הנתונה, V הוא מרחב וקטורי מעל שדה F, ו- \ \operatorname{GL}(V) היא חבורת ההעתקות הלינאריות ההפיכות של המרחב. כאשר V הוא מרחב מממד סופי n, אפשר לזהות חבורה זו עם חבורת המטריצות ההפיכות \ \operatorname{GL}_n(F). במקרה זה n נקרא ממד ההצגה.

מהצגה נתונה אפשר ליצור הצגות שקולות, על ידי הצמדה בהעתקה לינארית קבועה; דהיינו, אם \ \pi : G \rightarrow \operatorname{GL}(V) היא הומומורפיזם ו-A העתקה הפיכה, אז גם הפונקציה \ g \mapsto A \pi(g) A^{-1} היא הצגה, השקולה להצגה המקורית.

אם קיים תת-מרחב \ W \subset V שההצגה פועלת עליו, כלומר \ \pi(g)(W) \subseteq W לכל \ g\in G, אז ההצגה פריקה. הצגה שאין לה תת-מרחב כזה היא הצגה אי-פריקה. כל ההצגות האי-פריקות של חבורה אבלית סופית הן חד-ממדיות.

כאשר נתונות שתי הצגות, על מרחבים V ו-W, אפשר ליצור מהן הצגה חדשה, על הסכום הישר \ V \oplus W, בדרך של בניית מטריצות בלוקים: \ g \mapsto \left (\begin{array}{cc} \pi_1(g) & 0 \\ 0 & \pi_2(g)\end{array}\right). הצגה כזו, וכל הצגה שקולה לה, נקראת הצגה פרידה. הצגה שלא ניתן להפריד (על ידי הצמדה) באופן כזה, נקראת הצגה אי-פרידה.

הצגה אי-פריקה היא בהכרח אי-פרידה. אם אלגברת החבורה פשוטה למחצה, אז כל הצגה אי-פרידה היא אי-פריקה, וכל הצגה מתפרקת לסכום ישר של הצגות אי-פריקות. גם במקרים אחרים אפשר לבנות מן ההצגות האי-פריקות את כל ההצגות של החבורה, אלא שהתהליך מסובך בהרבה.

הקרקטר של הצגה מממד סופי[עריכת קוד מקור | עריכה]

אם \ \pi : G \rightarrow \operatorname{GL}_n(F) היא הצגה ממימד סופי, אז הפונקציה \ \chi(g) = \operatorname{tr}(\pi(g)) המוגדרת לפי חישוב העקבה של המטריצות המתקבלות מן ההצגה, היא הקרקטר (character) של ההצגה. העקבה אינה משתנה בהצמדה, ולכן להצגות שקולות יש אותה עקבה. הקרקטר של הצגה חד-ממדית שווה להצגה עצמה.

בחבורה סופית (ובאופן כללי יותר, גם בחבורה קומפקטית), גם ההפך נכון: מן הקרקטר של הצגה, אפשר לשחזר את ההצגה כולה (עד כדי שקילות).

באופן דומה, אם g,h הם שני אברים צמודים בחבורה, דהיינו \ h=xgx^{-1} עבור איבר x מתאים, אז הקרקטר מקבל בשניהם את אותו ערך. מכאן שהקרקטר הוא פונקציה של מחלקות הצמידות בחבורה, ולא רק של החבורה עצמה.

הצגות של חבורה סופית[עריכת קוד מקור | עריכה]

כל הצגה של חבורה סופית שקולה להצגה על מרחב מממד סופי. אם G היא חבורה סופית, ידוע שיש לה רק מספר סופי של הצגות (עד כדי שקילות); מספר ההצגות שווה למספר מחלקות הצמידות של החבורה. את הערכים של הקרקטרים השונים, המחושבים בכל מחלקות הצמידות של החבורה, אפשר לארגן במטריצה ריבועית, הנקראת טבלת הקרקטרים של החבורה.

הממד של כל הצגה אי-פריקה מחלק את סדר החבורה. יתרה מזו, לפי משפט איטו, אם A תת-חבורה אבלית נורמלית, אז הממד של הצגה אי-פריקה מחלק את האינדקס \ [G:A]. סכום ריבועי הממדים של ההצגות האי-פריקות שווה לסדר החבורה.

הצגות ואלגברת החבורה[עריכת קוד מקור | עריכה]

יש התאמה חד-חד-ערכית בין הצגות של החבורה G על מרחבים וקטוריים מעל לשדה F, לבין הצגות של אלגברת החבורה \ F[G], שהן הומומורפיזמים של אלגברות, מאלגברת החבורה לאלגברה \ \operatorname{End}(V) של העתקות לינאריות של מרחב וקטורי V מעל השדה. כל הצגה כזו הופכת את V למודול מעל אלגברת החבורה (ולהפך).

לפי משפט משקה, אם G חבורה סופית שהסדר שלה זר למאפיין של F, אז אלגברת החבורה היא פשוטה למחצה, והדבר מבטיח שכל הצגה של G תהיה ניתנת לפירוק כסכום ישר של הצגות אי-פריקות.


מושגי יסוד באלגברה מופשטת

מונואידחבורהחוגתחום שלמותשדהמודולאלגברה (מבנה אלגברי)תורת החבורותתורת גלואהאלגברת ליהומומורפיזםמשפטי האיזומורפיזםתת חבורה נורמליתאידאללוקליזציההצגה לינארית