הקבוצה הנגזרת

בטופולוגיה, הקבוצה הנגזרת של קבוצה A במרחב טופולוגי היא קבוצת כל נקודות ההצטברות שלה; מקובל לסמן את הקבוצה הנגזרת ב- $\ A'$. את המושג הגדיר גאורג קנטור ב-1872. במידה רבה, הוא פיתח את תורת הקבוצות כדי ללמוד את הנגזרות של קבוצות בישר הממשי.

תכונות

הסגור של קבוצה A במרחב טופולוגי X שווה לאיחוד $\ \overline{A} = A \cup A'$, ולכן A סגורה אם ורק אם $\ A' \subseteq A$. הקבוצה A נקראת קבוצה מושלמת, אם $\ A = A'$: הקבוצות המושלמות הן קבוצות סגורות, ללא אף נקודה מבודדת.

מקובל להגדיר ששני מרחבים טופולוגיים הם הומיאומורפיים אם יש העתקה חד-חד-ערכית מהראשון על משנהו, המעבירה את הקבוצות הפתוחות מן המרחב הראשון אל הקבוצות הפתוחות בשני. באופן שקול לזה, שני מרחבים הם הומיאומורפיים אם יש העתקה חד-חד-ערכית f מהראשון על משנהו, כך שמתקיים $\ f(A') = f(A)'$ לכל קבוצה A.

אפשר לאפיין את הטופולוגיה של המרחב באמצעות הקבוצות הנגזרות. כאופרטור מתת-קבוצות לתת-קבוצות של המרחב, הנגזרת מקיימת את התכונות הבאות:

1. $\empty^* = \empty$
2. $S^{''} \subseteq S^'$
3. $a \in S^' \to a \in (S \setminus \{a\})^'$
4. $(S \cup T)^' \subseteq S^' \cup T^'$
5. $S \subseteq T \to S^' \subseteq T^'$;

ובהינתן אופרטור כזה, אפשר לשחזר ממנו את הטופולוגיה, אם נבחין שקבוצה U היא פתוחה אם ורק אם היא זרה לנגזרת $\ (U^{c})'$ של הקבוצה המשלימה.

הדרגה של קנטור-בנדיקסון

לכל מספר סודר $\ \alpha$ אפשר להגדיר את נגזרת קנטור-בנדיקסון מסדר $\ \alpha$ של מרחב טופולוגי X, באינדוקציה טרנספיניטית:

• $\ X^{0} = X$.
• $\ X^{\alpha+1} = (X^{\alpha})'$.
• $\ X^{\alpha} = \bigcap_{\beta < \alpha} X^{\beta}$ לכל סודר גבולי $\ \alpha$.

סדרת הנגזרות של כל מרחב נתון מוכרחה לעצור בסופו של דבר, והסודר הקטן ביותר שעבורו $\ X^{\alpha+1} = X^{\alpha}$ נקרא דרגת קנטור-בנדיקסון של המרחב. המרחבים המושלמים הם אלו שהדרגה שלהם היא 0.