הקבוצה הנגזרת

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

בטופולוגיה, הקבוצה הנגזרת של קבוצה A במרחב טופולוגי היא קבוצת כל נקודות ההצטברות שלה; מקובל לסמן את הקבוצה הנגזרת ב- \ A'. את המושג הגדיר גאורג קנטור ב-1872. במידה רבה, הוא פיתח את תורת הקבוצות כדי ללמוד את הנגזרות של קבוצות בישר הממשי.

תכונות[עריכת קוד מקור | עריכה]

הסגור של קבוצה A במרחב טופולוגי X שווה לאיחוד \ \overline{A} = A \cup A', ולכן A סגורה אם ורק אם \ A' \subseteq A. הקבוצה A נקראת קבוצה מושלמת, אם \ A = A': הקבוצות המושלמות הן קבוצות סגורות, ללא אף נקודה מבודדת.

מקובל להגדיר ששני מרחבים טופולוגיים הם הומיאומורפיים אם יש העתקה חד-חד-ערכית מהראשון על משנהו, המעבירה את הקבוצות הפתוחות מן המרחב הראשון אל הקבוצות הפתוחות בשני. באופן שקול לזה, שני מרחבים הם הומיאומורפיים אם יש העתקה חד-חד-ערכית f מהראשון על משנהו, כך שמתקיים \ f(A') = f(A)' לכל קבוצה A.

אפשר לאפיין את הטופולוגיה של המרחב באמצעות הקבוצות הנגזרות. כאופרטור מתת-קבוצות לתת-קבוצות של המרחב, הנגזרת מקיימת את התכונות הבאות:

  1. \empty^' = \empty
  2. S^{''} \subseteq S^'
  3. a \in S^' \to a \in (S \setminus \{a\})^'
  4. (S \cup T)^' \subseteq S^' \cup T^'
  5. S \subseteq T \to S^' \subseteq T^';

ובהינתן אופרטור כזה, אפשר לשחזר ממנו את הטופולוגיה, אם נבחין שקבוצה U היא פתוחה אם ורק אם היא זרה לנגזרת \ (U^{c})' של הקבוצה המשלימה.

הדרגה של קנטור-בנדיקסון[עריכת קוד מקור | עריכה]

לכל מספר סודר \ \alpha אפשר להגדיר את נגזרת קנטור-בנדיקסון מסדר \ \alpha של מרחב טופולוגי X, באינדוקציה טרנספיניטית:

  • \ X^{0} = X.
  • \ X^{\alpha+1} = (X^{\alpha})'.
  • \ X^{\alpha} = \bigcap_{\beta < \alpha} X^{\beta} לכל סודר גבולי \ \alpha.

סדרת הנגזרות של כל מרחב נתון מוכרחה לעצור בסופו של דבר, והסודר הקטן ביותר שעבורו \ X^{\alpha+1} = X^{\alpha} נקרא דרגת קנטור-בנדיקסון של המרחב. המרחבים המושלמים הם אלו שהדרגה שלהם היא 0.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]