הרחבת פיקאר-וזו

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

במתמטיקה, ובמיוחד באלגברה דיפרנציאלית, הרחבת פיקאר-וזו (Picard–Vessiot) היא הרחבת שדות דיפרנציאלים המתקבלת על ידי הוספת פתרונות של משוואה דיפרנציאלית לשדה המקורי.

הגדרה[עריכת קוד מקור | עריכה]

יהי F שדה דיפרנציאלי עם גזירה d_F. אומרים כי שדה דיפרנציאלי K עם גזירה d_K הוא הרחבה דיפרנציאלית של F אם F \subseteq K והצמצום של d_K לF שווה לd_F.

הרחבה דיפרנציאלית F \subseteq K נקראת הרחבת פיקאר-וזו אם מתקיימים שני התנאים הבאים

  1. שדה הקבועים של F שווה לשדה הקבועים של K.
  2. קיימת משוואה דיפרנציאלית לינארית הומוגנית L מסדר n עם מקדמים בF כך K נוצר מעל F על ידי הפתרונות של L, וכך שמרחב הפתרונות של L בK הוא מרחב וקטורי מממד n מעל שדה הקבועים.

במקרה זה אומרים כי F \subseteq K היא הרחבת פיקאר-וזו של F ביחס למשוואה L.

הרחבות פיקאר-וזו הן המקבילה של הרחבות גלואה בתורת גלואה הדיפרנציאלית.

קיום ויחידות[עריכת קוד מקור | עריכה]

אם F שדה דיפרנציאלי ששדה הקבועים שלו הוא שדה סגור אלגברית, אז לכל משוואה דיפרנציאלית לינארית הומוגנית L קיימת הרחבת פיקאר-וזו F \subseteq K ביחס לL. אם שדה הקבועים אינו סגור אלגברית יש דוגמאות שבהן לא קיימת הרחבת פיקאר-וזו. למרות זאת, לכל שדה דיפרנציאלי ומשוואה L כדלעיל קיימת הרחבה דיפרנציאלית K שבה נמצאים כל הפתרונות של L וששדה הקבועים שלה הוא הרחבה אלגברית של שדה הקבועים של F.

אם קיימת לF הרחבת פיקאר-וזו ביחס למשוואה L אז היא יחידה עד כדי איזומורפיזם של שדות דיפרנציאלים (כלומר, איזומורפיזם של שדות המכבד את פעולת הגזירה).

לקריאה נוספת[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • A. Magid, Lectures on Differential Galois Theory, American Math. Soc., 1994