השערת abc

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

השערת abc היא השערה מרחיקת לכת בענף האנליזה הדיופנטית של תורת המספרים, שהציעו ז'וזף אוסטרלה (Joseph Oesterlé) ודויד מסר (David Masser) בסוף שנות ה-80 של המאה ה-20. ההשערה ידועה לפיכך גם בשם השערת אוסטרלה-מסר. ההשערה מכלילה משפטים חשובים והשערות מרכזיות בתחום, ובהם משפט פאלטינגס וגרסה חלשה של המשפט האחרון של פרמה. לפי ההשערה, אם a,b,c הם מספרים זרים המקיימים a+b=c, אז הרדיקל \operatorname{rad}(abc) אינו קטן בהרבה מ-c. זהו נוסח עבור מספרים שלמים של משפט מייסון-סטותרס על פולינומים.

באוגוסט 2012 פרסם המתמטיקאי היפני שיניצ'י מוצ'יזוקי (Shinichi Mochizuki) הוכחה-לכאורה להשערה. מוצ'יזוקי פרסם כי התאוריה שבהוכחה זו מבוססת על "ההשערה הבין אוניברסלית של טייצ'מולר" (inter-universal Teichmüller theory), ושיש לה יישומים אחרים, כולל הוכחה להשערה של סזפירו (Szpiro's conjecture) וסברתו של ווג'טה (Vojta's conjecture). למומחים היו אמורים לקחת מספר חודשים כדי לבדוק את המתמטיקה החדשה של מוצ'יזוקי, שפותחה במשך עשרות שנים ב-500 עמודים של קדם פרסום וכמה פרסומים קודמים שלו. כאשר נמצאה שגיאה באחד מהמאמרים שצויינה על ידי ווסלין דימיטרוב (Vesselin Dimitrov) ואקשאיי וונקטש (Akshay Venkatesh) באוקטובר 2012, מוצ'יזוקי פרסם באתרו על הטעות, וקבע כי זה לא ישפיע על התוצאה, וכי הוא מבטיח גרסה מתוקנת בעתיד הקרוב.

ההשערה[עריכת קוד מקור | עריכה]

לכל \epsilon>0 יש לכל היותר מספר סופי של שלשות של מספרים זרים a,b,c המקיימות a+b=c ו- c>\operatorname{rad}(abc)^{1+\epsilon}, כאשר \operatorname{rad}(abc) היא מכפלת הגורמים הראשוניים השונים של המכפלה abc.

עבור רוב המספרים, הרדיקל \operatorname{rad}(n) הוא מסדר הגודל של n, ורק לעתים נדירות הוא קטן בהרבה: זה קורה כאשר n מתחלק בחזקה גבוהה של גורם ראשוני. למשל, \operatorname{rad}(2^4\cdot3^5)=2\cdot 3=6 \ll 2^4\cdot 3^5=3888. משום כך, בדרך כלל יהיה הרדיקל של abc גדול מ-c. שלשות כמו 3+125=128 שבהן הרדיקל קטן, \operatorname{rad}(3\cdot 5^3\cdot 2^7)=30 < 128, הן נדירות למדי. יש אמנם מספר אינסופי של שלשות שעבורן c>\operatorname{rad}(abc), אבל על-פי ההשערה, אם מחזקים את האי-שוויון הזה מעט ודורשים c>\operatorname{rad}(abc)^{1+\epsilon}, יש לו כאמור רק מספר פתרונות סופי.

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]