התכנסות במידה שווה

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

התכנסות במידה שווה (או בקיצור - התכנסות במ"ש) היא תכונה באנליזה מתמטית של סדרות פונקציות וטורי פונקציות, שהיא חזקה יותר מתכונת התכנסות נקודתית, ומבטיחה שתכונות כגון רציפות ואינטגרביליות עוברות מפונקציות הסדרה אל פונקציית הגבול.

הגדרה[עריכת קוד מקור | עריכה]

הגדרה: תהא \ \{f_{n}\}_{n=1}^\infty סדרה של פונקציות ממשיות. נאמר כי הסדרה מתכנסת במידה שווה (במ"ש) לפונקציית הגבול f(x) בקבוצה \ S אם ורק אם לכל \ \varepsilon>0 קיים \ N טבעי כך שלכל \ x\isin S ולכל \ n>N מתקיים \ |f_n(x)-f(x)|<\varepsilon.

באותה הצורה, נאמר שטור פונקציות מתכנס במידה שווה אם ורק אם סדרת הסכומים החלקיים שלו (שהיא סדרת פונקציות בעצמה) מתכנסת במידה שווה.

ההבדל העקרוני שבין הגדרה זו ובין הגדרת התכנסות נקודתית של סדרת פונקציות היא שכאן \ N יחיד מתאים לכל הנקודות שבהן מוגדרת פונקציית הגבול. בהתכנסות נקודתית, לנקודות שונות בתחום ההתכנסות יכולים להתאים ערכים שונים של \ N. על כן, התכנסות במידה שווה גוררת בפרט התכנסות נקודתית בכל נקודה, אך ההפך אינו נכון, ולכן התכנסות במידה שווה היא תכונה חזקה יותר מהתכנסות רגילה. עם זאת, בקטע סופי, סדרת פונקציות שמתכנסת נקודתית תתכנס במידה שווה "כמעט" בכל הקטע, במובן שלכל \,\delta >0 ניתן להסיר מהקטע קבוצה שמידתה \,\delta כך שבקבוצה הנותרת הסדרה תתכנס במידה שווה. כמו כן, משפט דיני מבטיח כי בתנאים מסוימים התכנסות נקודתית תגרור התכנסות במידה שווה.

במרחב המטרי של פונקציות ממשיות רציפות עם המטריקה המוגדרת על ידי סופרמום ההפרש של הפונקציות, התכנסות סדרת פונקציות לפונקציה על פי המטריקה היא בדיוק התכנסות במידה שווה.

דוגמה[עריכת קוד מקור | עריכה]

כדוגמה למצב שבו ההתכנסות היא נקודתית אך לא במידה שווה, נסתכל בסדרת הפונקציות \ f_{n}(x) = x^n המוגדרת בקטע \ (0,1). הסדרה מתכנסת נקודתית לפונקציית האפס \ f(x) = 0 בקטע, אך ההתכנסות אינה במידה שווה. נוכיח זאת:

נבחר \varepsilon_0=1/4. יש להראות כי לכל \ N טבעי קיים \ n>N טבעי ו-\ x_n\in(0,1) כך ש-\ |f_n(x_n)-f(x_n)|\ge\varepsilon_0. נבחר \ x_n=\frac{1}{2^{1/n}} ונקבל עבור כל n טבעי, ובפרט עבור כל n>N: \ |f_n(x_n)-f(x_n)|=\frac{1}{2}>\varepsilon_0.

כלים לחקירת התכנסות במידה שווה[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • קריטריון קושי: תהיינה \ f_{n} סדרת פונקציות, הן מתכנסות במ"ש בקבוצה \ S לפונקציית הגבול f(x) אם ורק אם לכל \ \varepsilon>0 קיים \ N טבעי כך שלכל \ x\isin S ולכל \ n,m>N מתקיים \ |f_n(x)-f_m(x)|<\varepsilon.
  • משפט דיני: תהיינה \ f_{n} סדרת פונקציות רציפות, המוגדרות בקטע סגור \ S, כך שלכל \ x\isin S, הסדרה \ f_{n}(x) מונוטונית. אם הגבול של סדרת הפונקציות הוא פונקציה רציפה, אז ההתכנסות היא במידה שווה.
  • מבחן M של ויירשטראס: (משפט זה אינו משפט שייחודי לטורים וניתן לנסח אותו לסדרות אך הדבר אינו טבעי שכן הוא עוסק בסדרת ההפרשים, שבטורים זה פשוט אברי הטור) תהיינה \ f_{n} סדרת פונקציות, ונניח שקיימת סדרת מספרים \ M_n המקיימת שהטור: \ \sum_{n=1}^\infty \ M_n מתכנס וכמו כן שלכל \ x\isin S ולכל n מתקיים \ M_n \ |f_{n}(x)| \leq אזי, \ \sum_{n=1}^\N\ f_{n} מתכנס במ"ש ובהחלט בקבוצה \ S.
  • קריטריון דריכלה להתכנסות במ"ש: עבור סדרות פונקציות \left\{a_n\right\}_{n=1}^{\infty} ו \left\{b_n\right\}_{n=1}^{\infty} בתחום \ S, הטור \ \sum_{n=1}^\N a_nb_n מתכנס במ"ש ב-\ S אם נניח כי: הסדרה \left\{\sum_{n=1}^\N\ b_n\right\}_{N=1}^{\infty} חסומה במידה אחידה ב-\ S וגם לכל \ x\isin S הסדרה \left\{a_n\right\}_{n=1}^{\infty} מונוטונית ובנוסף a_n מתכנסת במ"ש לפונקציה \ f(x)=0.
  • קריטריון אבל להתכנסות במ"ש: עבור סדרות פונקציות \left\{a_n\right\}_{n=1}^{\infty} ו \left\{b_n\right\}_{n=1}^{\infty} בתחום \ S, הטור \ \sum_{n=1}^\N a_nb_n מתכנס במ"ש ב-\ S אם נניח כי: הטור \ \sum_{n=1}^\infty b_n מתכנס במ"ש ב-\ S וגם לכל x הסדרה \left\{a_n\right\} מונוטונית ובנוסף \left\{a_n\right\} חסומה במידה אחידה ב-\ S.

הערות[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • אם סדרת פונקציות רציפות מתכנסת במידה שווה, אזי גם הפונקציה הגבולית רציפה.
  • אם סדרת פונקציות אינטגרביליות רימן מתכנסת במידה שווה - אזי הפונקציה הגבולית גם היא אינטגרבילית רימן.
  • אבל: אם סדרת פונקציות גזירות מתכנסת במידה שווה - הפונקציה הגבולית לא בהכרח גזירה. עם זאת, אם סדרת הפונקציות מתכנסת נקודתית, ובנוסף סדרת הנגזרות של הפונקציות מתכנסת במידה שווה, אזי הפונקציה הגבולית גזירה (ונגזרתה היא גבול סדרת הנגזרות).