התכנסות במידה שווה

התכנסות במידה שווה היא תכונה באנליזה מתמטית של סדרות פונקציות וטורי פונקציות, שהיא חזקה יותר מתכונת התכנסות נקודתית, ומבטיחה שתכונות כגון רציפות ואינטגרביליות עוברות מפונקציות הסדרה אל פונקציית הגבול.

הגדרה

הגדרה: תהא $\ \{f_{n}\}_{n=1}^\infty$ סדרה של פונקציות ממשיות. נאמר כי הסדרה מתכנסת במידה שווה (במ"ש) לפונקציית הגבול $f(x)$ בקבוצה $\ S$ אם ורק אם לכל $\ \varepsilon>0$ קיים $\ N$ טבעי כך שלכל $\ x\isin S$ ולכל $\ n>N$ מתקיים $\ |f_n(x)-f(x)|<\varepsilon$.

באותה הצורה, נאמר שטור פונקציות מתכנס במידה שווה אם ורק אם סדרת הסכומים החלקיים שלו (שהיא סדרת פונקציות בעצמה) מתכנסת במידה שווה.

ההבדל העקרוני שבין הגדרה זו ובין הגדרת התכנסות נקודתית של סדרת פונקציות היא שכאן $\ N$ יחיד מתאים לכל הנקודות שבהן מוגדרת פונקציית הגבול. בהתכנסות נקודתית, לנקודות שונות בתחום ההתכנסות יכולים להתאים ערכים שונים של $\ N$. על כן, התכנסות במידה שווה גוררת בפרט התכנסות נקודתית בכל נקודה, אך ההפך אינו נכון, ולכן התכנסות במידה שווה היא תכונה חזקה יותר מהתכנסות רגילה. עם זאת, בקטע סופי, סדרת פונקציות שמתכנסת נקודתית תתכנס במידה שווה "כמעט" בכל הקטע, במובן שלכל $\,\delta >0$ ניתן להסיר מהקטע קבוצה שמידתה $\,\delta$ כך שבקבוצה הנותרת הסדרה תתכנס במידה שווה. כמו כן, משפט דיני מבטיח כי בתנאים מסוימים התכנסות נקודתית תגרור התכנסות במידה שווה.

במרחב המטרי של פונקציות ממשיות רציפות עם המטריקה המוגדרת על ידי סופרמום ההפרש של הפונקציות, התכנסות סדרת פונקציות לפונקציה על פי המטריקה היא בדיוק התכנסות במידה שווה.

דוגמה

כדוגמה למצב שבו ההתכנסות היא נקודתית אך לא במידה שווה, נסתכל בסדרת הפונקציות $\ f_{n}(x) = x^n$ המוגדרת בקטע $\ (0,1)$. הסדרה מתכנסת נקודתית לפונקציית האפס $\ f(x) = 0$ בקטע, אך ההתכנסות אינה במידה שווה. נוכיח זאת:

נבחר $\varepsilon_0=1/4$. יש להראות כי לכל $\ N$ טבעי קיים $\ n>N$ טבעי ו-$\ x_n\in(0,1)$ כך ש-$\ |f_n(x_n)-f(x_n)|\ge\varepsilon_0$. נבחר $\ x_n=\frac{1}{2^{1/n}}$ ונקבל עבור n=1$\ |f_n(x_n)-f(x_n)|=\frac{1}{2}>\varepsilon_0$.

הערה

• אם סדרת פונקציות רציפות מתכנסת במידה שווה, אזי גם הפונקציה הגבולית רציפה.
• אם סדרת פונקציות אינטגרביליות רימן מתכנסת במידה שווה - אזי הפונקציה הגבולית גם היא אינטגרבילית רימן.
• אבל: אם סדרת פונקציות גזירות מתכנסת במידה שווה - הפונקציה הגבולית לא בהכרח גזירה. עם זאת, אם סדרת הפונקציות מתכנסת נקודתית, ובנוסף סדרת הנגזרות של הפונקציות מתכנסת במידה שווה, אזי הפונקציה הגבולית גזירה (ונגזרתה היא גבול סדרת הנגזרות).