התכנסות נקודתית

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

התכנסות נקודתית היא תכונה באנליזה מתמטית של סדרות פונקציות וטורי פונקציות, בה יש התכנסות בכל נקודה של הסדרה או הטור. תכונה זו חלשה יותר מתכונת ההתכנסות במידה שווה של סדרות וטורי פונקציות, ואינה מבטיחה שתכונות כגון רציפות ואינטגרביליות עוברות מפונקציות הסדרה אל פונקציית הגבול.

הגדרה[עריכת קוד מקור | עריכה]

תהי \ \{ f_n \}_{n=1}^{\infty} סדרת פונקציות המוגדרת בקטע \ I. אנו אומרים שהסדרה מתכנסת נקודתית ב־\ x_0\in I אם הסדרה \ \{ f_n (x_0) \}_{n=1}^{\infty} (זוהי סדרת מספרים ממשיים) מתכנסת. אנו אומרים שסדרת פונקציות מתכנסת נקודתית בקטע \ I אם היא מתכנסת נקודתית בכל נקודה \ x\in I.

ניתן גם להגדיר את ההתכנסות באמצעות קריטריון קושי להתכנסות הסדרה \ \{ f_n (x) \}_{n=1}^{\infty} לכל \ x:

\ \forall \varepsilon > 0 \ : \ \forall x \in A \ : \ \exist N_x > 0 \ : \ \mbox{such that} \ \forall n,m > N_x : | f_n (x) - f_m (x) | < \varepsilon

את פונקציית הגבול נסמן ב־\ f והיא מוגדרת על ידי \ f(x)=\lim_{n \to \infty} f_n (x).

דוגמה[עריכת קוד מקור | עריכה]

נעיין בסדרת הפונקציות \ f_{n}(x) = x^n המוגדרת בקטע \ [0,1]. הסדרה מתכנסת נקודתית לפונקציה:


f(x)=\left\{\begin{matrix} 
0 & \mbox{if } 0\le x< 1 \\ 
1 & \mbox{if } x=1\end{matrix}\right.

פונקציית הגבול אינה רציפה, למרות שכל הפונקציות בסדרה הן רציפות. מכאן שההתכנסות אינה במידה שווה, משום שאם סדרת פונקציות רציפות מתכנסת במידה שווה, הרי גם פונקציית הגבול רציפה.

P mathematics.svg ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.