התפלגות ברנולי

בתורת ההסתברות והסטטיסטיקה המושג התפלגות ברנולי הקרויה על שם יוהאן ברנולי היא התפלגות של משתנה מקרי המקבל שני ערכים, 0 ו-1. התפלגות זו מתאימה לתיאור מערכות בהן יש שני מצבים - הצלחה או כישלון. מקובל לסמן את ההסתברות להצלחה באות p, ואת ההסתברות המשלימה ב- $\ q = 1-p$. למשל, בהטלת קובייה תקינה תסומן התוצאה 6 כהצלחה וכל שאר התוצאות האחרות ככישלון. ההסתברות לנפילה על 6 בקובייה תקינה היא 1/6, ולפיכך ההסתברות המשלימה המתייחסת לכל שאר התוצאות (1,2,3,4,5) היא 5/6. בדוגמה זו המשתנה המציין את המאורע המתאים הוא בעל התפלגות ברנולי עם פרמטר p=1/6.

את העובדה שלמשתנה X יש התפלגות ברנולי מסמנים $\ X \sim\ \text{b}(p)$ (לעיתים $\ X \sim\ \text{Bernoulli}(p)$). התוחלת של X היא $\mathbb{E}[X]= p$, והשונות שלו היא $\operatorname{var}= p(1-p)$. משתנה בעל התפלגות ברנולי מקיים את התכונה $\ X^n=X$ לכל $\ n$ (שהרי הערכים 0 ו־1 מקיימים שוויון זה), ולכן כל המומנטים של משתנה כזה שווים ל־$\ p$.

משתני ברנולי הם אבני הבניין של ההתפלגות הבינומית. סכום של $\ n$ משתני ברנולי בלתי תלויים בעלי הסתברות הצלחה p הוא בעל התפלגות בינומית כללית, $\ B(n,p)$ (ובפרט ההתפלגות $\ B(1,p)$ היא התפלגות ברנולי).

מיזמי קרן ויקימדיה
ספר לימוד בוויקיספר: הסתברות/משתנים מקריים/משתנים מקריים בדידים/התפלגות ברנולי