התפלגות גאומטרית

התפלגות גאומטרית ("סופרת נסיונות")

מאפיינים
פרמטרים	$\ 0<p<1$ ההסתברות להצלחה
תומך	$k \in \{1,2,3,\dots\}\!$
פונקציית הסתברות (pmf)	$(1 - p)^{k-1}\,p\!$
פונקציית צפיפות הסתברות (pdf)
פונקציית ההסתברות המצטברת (cdf)	$1-(1 - p)^k\!$
תוחלת	$\frac{1}{p}\!$
חציון	$\ \left\lceil \frac{-\log(2)}{\log(1-p)} \right\rceil\!$ (לא יחיד אם $\frac{\log(2)}{\log(1-p)}$ הוא מספר שלם)
ערך שכיח	$\ 1$
שוֹנוּת	$\frac{1-p}{p^2}\!$
אנטרופיה	$-\frac{1-p}{p}\ln(1-p)-\ln p\!$
פונקציה יוצרת מומנטים (mgf)	$\frac{p\,e^t}{1-(1-p) e^t}\!$
צידוד	$\frac{2-p}{\sqrt{1-p}}\!$
גבנוניות	$6+\frac{p^2}{1-p}\!$

בתורת ההסתברות ובסטטיסטיקה, ההתפלגות הגאומטרית היא אחת משתי התפלגויות ההסתברות הבדידות הבאות:

• התפלגות ההסתברות של X - מספר ניסויי ברנולי הנדרשים עד להשגת הצלחה אחת. X נע בטווח $\ 1,2,3,\dots$.
• התפלגות ההסתברות של Y=X-1 - מספר הכשלונות בניסויי הברנולי לפני ההצלחה הראשונה. Y נע בטווח $\ 0,1,2,\dots$.

כיצד נקבע מי משתי התפלגויות אלו מכונה ההתפלגות הגאומטרית הוא עניין של מוסכמה ונוחות, בהתאם להקשר.

אם ההסתברות להצלחה בכל נסיון היא p, אז ההסתברות ש-n נסיונות נדרשים עד להשגת ההצלחה הראשונה היא:

$P(X = n) = (1 - p)^{n-1}p\,$

בצורה דומה, ההסתברות שיהיו n כשלונות לפני ההצלחה הראשונה היא:

$P(Y=n) = (1 - p)^n p\,$

בשני המקרים, סדרת ההסתברויות היא סדרה גאומטרית, ומכאן שמה של ההסתברות.

לדוגמה, נניח כי קוביית משחק רגילה מוטלת שוב ושוב עד הפעם הראשונה בה מופיע המספר 1. התפלגות מספר זריקות הקוביה היא התפלגות גאומטרית עם הפרמטר p=1/6.

תכונות

חוסר זיכרון: בדיוק כמו התפלגות מעריכית, גם התפלגות גאומטרית היא חסרת זיכרון. במידה ואנו יודעים כי התבצעו k נסיונות ללא הצלחה, הסיכוי להצלחה ה-n שקול בדיוק לניסוי זהה שבו אנו בודקים מה הסבירות להצלחה ה n-k.

$P(X=n|X>k) =P(X=n+k) \,$

התוחלת והשונות של ההתפלגות הגאומטרית של מספר הנסיונות עד להצלחה נתונות על ידי:

$\ E(X) = \frac{1}{p} \quad ; \quad \mbox{var}(X) = \frac{1-p}{p^2}$

ואילו התוחלת והשונות של ההתפלגות הגאומטרית של מספר הכשלונות עד להצלחה נתונות על ידי:

$\ E(Y) = \frac{1-p}{p} \quad ; \quad \mbox{var}(Y) = \frac{1-p}{p^2}$