התפלגות גמא

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
שם ההתפלגות
מאפיינים
פרמטרים \lambda>0,\  \alpha > 0
תומך x \in [0, \infty)\,\!
פונקציית הסתברות

(pmf)

פונקציית צפיפות הסתברות

(pdf)

 \frac{\lambda^{\alpha} e^{-\lambda x} x^{\alpha - 1}}{\Gamma(\alpha)}
פונקציית ההסתברות המצטברת

(cdf)

\frac{\gamma(\alpha, \lambda x)}{\Gamma(\alpha)}\!
תוחלת \alpha/\lambda\,\!
חציון אין ביטוי פשוט
ערך שכיח (\alpha - 1)/\lambda\,\! עבור \alpha \geq 1\,\!
שוֹנוּת \alpha/\lambda^2\,\!
אנטרופיה \alpha - \ln\lambda + \ln\Gamma(\alpha) \!
+ (1-\alpha)\psi(\alpha) \,\!
פונקציה יוצרת מומנטים

(mgf)

\left(1 - \frac{t}{\lambda}\right)^{-\alpha}\,
צידוד \frac{2}{\sqrt{\alpha}}\,\!
גבנוניות \frac{6}{\alpha}\,\!

בתורת ההסתברות ובסטטיסטיקה, התפלגות גמא (Gamma Distribution) הוא שמה של התפלגות השייכת למשפחה דו-פרמטרית של התפלגויות רציפות על המספרים האי-שליליים, שאותן מסמנים  \Gamma(\alpha,\lambda). המשפחה כוללת את ההתפלגות המעריכית ואת התפלגות כי בריבוע.

התפלגות גמא משמשת לעתים קרובות כמודל לתיאור זמן ההמתנה עד לאירוע מסוים, כגון קלקול במערכת אלקטרונית או מוות ממחלה. הסיבה לכך היא שההתפלגות  \Gamma(1,\lambda) היא ההתפלגות המעריכית חסרת הזיכרון, והמשפחה אדיטיבית ברכיב הראשון. לכן, אם משך החיים של נורה בודדת מתפלג מעריכית עם הפרמטר \ \lambda, אז משך החיים של מערכת שבה נכנסות לפעולה n נורות כאלו בזו אחר זו, מתפלג  \Gamma(n,\lambda). ערכים לא שלמים של \ \alpha מאפשרים לקרב גם מודלים מורכבים יותר.

הגדרה[עריכת קוד מקור | עריכה]

פונקציית צפיפות[עריכת קוד מקור | עריכה]

התפלגות גמא היא התפלגות רציפה, שפונקציית הצפיפות שלה היא


f(x) = \left\{\begin{matrix}
\displaystyle \frac{\lambda^{\alpha} e^{-\lambda x} x^{\alpha - 1}}{\Gamma(\alpha)} &\; x \ge 0 \\
\\
0 &\; x < 0
\end{matrix}\right.

כאשר \,\!\lambda > 0 הוא פרמטר הנקרא פרמטר קצב, \,\!\alpha > 0 הוא פרמטר הנקרא פרמטר צורה, ו- \Gamma(\alpha)\! היא פונקציית גמא, המוגדרת על ידי \Gamma(\alpha) = \int_0^\infty\! t^{\alpha -1}\,e^{-t}\,dt.

כשהפרמטר \,\!\alpha הוא מספר שלם, התפלגות גמא נקראת לעתים התפלגות ארלנג.

ההתפלגות מתוארת לעתים באמצעות ההופכי של פרמטר הקצב, כלומר באמצעות פרמטר \,\!\theta = 1/\lambda > 0, הנקרא פרמטר סקאלה. במקרה זה, פונקציית הצפיפות היא


f(x) = \left\{\begin{matrix}
\displaystyle \frac{e^{-x/\theta} x^{\alpha - 1}}{\theta^{\alpha}\Gamma(\alpha)} &\; x \ge 0 \\
\\
0 &\; x < 0
\end{matrix}\right.

משתנה מקרי \,\!X המתפלג התפלגות גמא עם פרמטרים \,\!\lambda ו- \,\!\alpha מסומן בדרך כלל \,\!X \sim \textrm{Gamma}(\lambda, \alpha) . הערכים שמשתנה מקרי שכזה יכול לקבל הם המספרים האי-שליליים, כלומר התומך של התפלגות גמא הוא הקטע \,\![0, \infty).

פונקציית התפלגות מצטברת[עריכת קוד מקור | עריכה]

פונקציית ההתפלגות המצטברת של התפלגות גמא היא


F(x) = \int_0^x f(s)\,ds 
= \left\{\begin{matrix}
\displaystyle \frac{\gamma(\alpha, \lambda x)}{\Gamma(\alpha)} &\; x \ge 0 \\
\\
0 &\; x < 0
\end{matrix}\right.

כאשר  \gamma(\alpha,\lambda x)\! היא פונקציית גמא הלא שלמה התחתונה:  \gamma(\alpha,\lambda x) = \int_0^{\lambda x} t^{\alpha-1}\,e^{-t}\,{\rm d}t \,\!

כשהפרמטר \,\!\alpha הוא מספר שלם (כלומר ההתפלגות היא התפלגות ארלנג), ניתן לכתוב את פונקציית ההתפלגות המצטברת בצורה יותר מפורשת,


F(x) = \left\{\begin{matrix}
\displaystyle 1 - \sum_{i=0}^{\alpha-1} \frac{(\lambda x)^i}{i!} e^{-\lambda x} &\; x \ge 0 \\
\\
0 &\; x < 0
\end{matrix}\right.

תכונות[עריכת קוד מקור | עריכה]

תוחלת ושונות[עריכת קוד מקור | עריכה]

התוחלת של משתנה מקרי \,\!X \sim \textrm{Gamma}(\lambda, \alpha) היא \,\!E(X) = \alpha/\lambda; השונות היא \mathrm{Var}(X) = \alpha/\lambda^2\,\!.

פונקציית סיכון[עריכת קוד מקור | עריכה]

פונקציית הסיכון (Hazard function) של התפלגות גמא, \frac{f(x)}{1-F(x)}, היא h(x) = \frac{\lambda^\alpha  x^{\alpha - 1}e^{-\lambda x}}{\Gamma(\alpha) - \gamma(\alpha, \lambda x)}.

קשר להתפלגויות אחרות[עריכת קוד מקור | עריכה]

התפלגות מעריכית[עריכת קוד מקור | עריכה]

ההתפלגות המעריכית היא מקרה פרטי של התפלגות גמא: משתנה מקרי \Gamma(\lambda, 1)\! (כלומר עם פרמטר צורה 1) הוא משתנה מקרי \,\!\mathrm{exp}(\lambda).

הסכום של n משתנים מקריים בלתי תלויים \,\!\mathrm{exp}(\lambda) מתפלג \,\!\Gamma(\lambda, n).

התפלגות פואסון[עריכת קוד מקור | עריכה]

אם תופעה מסוימת מתרחשת מפעם לפעם, כך שפרקי הזמן בין התרחשות להתרחשות הם משתנים מקריים מעריכיים בלתי תלויים \,\!\mathrm{exp}(\lambda), אז מספר ההתרחשויות בפרק זמן שאורכו t מתפלג פואסונית עם פרמטר \lambda t. תהליך שכזה נקרא תהליך פואסון (הומוגני בזמן), ומתקיים בו שהזמן מתחילת התהליך עד להתרחשות מספר n מתפלג \Gamma(\lambda, n)\!.

כדוגמה קונקרטית, נניח שבידנו מספר נורות שזמן החיים של כל אחת מהן מתפלג \,\!\mathrm{exp}(\lambda), ונחשוב על המערכת הבאה: מחברים את הנורות לחשמל ומדליקים את הנורה הראשונה בלבד; ברגע שהיא נשרפת, מדליקים את הנורה השנייה; ברגע שגם היא נשרפת, מדליקים את הנורה השלישית; וכן הלאה. אזי מספר הנורות שנשרפות עד זמן t מתפלג פואסונית עם פרמטר \lambda t, והזמן מתחילת התהליך עד שריפת נורה מספר n מתפלג \Gamma(\lambda, n)\!.

התפלגות כי בריבוע[עריכת קוד מקור | עריכה]

התפלגות כי בריבוע היא מקרה פרטי של התפלגות גמא: משתנה מקרי \,\!\chi^2_n (כלומר עם n דרגות חופש) הוא משתנה מקרי \,\!\Gamma(1/2, n/2).