התפלגות גמא

שם ההתפלגות

מאפיינים
פרמטרים	$\lambda>0,\ \alpha > 0$
תומך	$x \in [0, \infty)\,\!$
פונקציית הסתברות (pmf)
פונקציית צפיפות הסתברות (pdf)	$\frac{\lambda^{\alpha} e^{-\lambda x} x^{\alpha - 1}}{\Gamma(\alpha)}$
פונקציית ההסתברות המצטברת (cdf)	$\frac{\gamma(\alpha, \lambda x)}{\Gamma(\alpha)}\!$
תוחלת	$\alpha/\lambda\,\!$
חציון	אין ביטוי פשוט
ערך שכיח	$(\alpha - 1)/\lambda\,\!$ עבור $\alpha \geq 1\,\!$
שוֹנוּת	$\alpha/\lambda^2\,\!$
אנטרופיה	$\alpha - \ln\lambda + \ln\Gamma(\alpha) \!$ $+ (1-\alpha)\psi(\alpha) \,\!$
פונקציה יוצרת מומנטים (mgf)	$\left(1 - \frac{t}{\lambda}\right)^{-\alpha}\,$
צידוד	$\frac{2}{\sqrt{\alpha}}\,\!$
גבנוניות	$\frac{6}{\alpha}\,\!$

בתורת ההסתברות ובסטטיסטיקה, התפלגות גמא (Gamma Distribution) הוא שמה של התפלגות השייכת למשפחה דו-פרמטרית של התפלגויות רציפות על המספרים האי-שליליים. התפלגות גמא משמשת לעתים קרובות לתיאור זמן ההמתנה עד לאירוע מסוים, כגון קלקול במערכת אלקטרונית או מוות ממחלה. ההתפלגות המעריכית והתפלגות כי בריבוע הן התפלגויות גמא.

הגדרה

פונקציית צפיפות

התפלגות גמא היא התפלגות רציפה, שפונקציית הצפיפות שלה היא

$f(x) = \left\{\begin{matrix} \displaystyle \frac{\lambda^{\alpha} e^{-\lambda x} x^{\alpha - 1}}{\Gamma(\alpha)} &\; x \ge 0 \\ \\ 0 &\; x < 0 \end{matrix}\right.$

כאשר $\,\!\lambda > 0$ הוא פרמטר הנקרא פרמטר קצב, $\,\!\alpha > 0$ הוא פרמטר הנקרא פרמטר צורה, ו- $\Gamma(\alpha)\!$ היא פונקציית גמא, המוגדרת על ידי $\Gamma(\alpha) = \int_0^\infty\! t^{\alpha -1}\,e^{-t}\,dt$.

כשהפרמטר $\,\!\alpha$ הוא מספר שלם, התפלגות גמא נקראת לעתים התפלגות ארלנג.

ההתפלגות מתוארת לעתים באמצעות ההופכי של פרמטר הקצב, כלומר באמצעות פרמטר $\,\!\theta = 1/\lambda > 0$, הנקרא פרמטר סקאלה. במקרה זה, פונקציית הצפיפות היא

$f(x) = \left\{\begin{matrix} \displaystyle \frac{e^{-x/\theta} x^{\alpha - 1}}{\theta^{\alpha}\Gamma(\alpha)} &\; x \ge 0 \\ \\ 0 &\; x < 0 \end{matrix}\right.$

משתנה מקרי $\,\!X$ המתפלג התפלגות גמא עם פרמטרים $\,\!\lambda$ ו- $\,\!\alpha$ מסומן בדרך כלל $\,\!X \sim \textrm{Gamma}(\lambda, \alpha)$. הערכים שמשתנה מקרי שכזה יכול לקבל הם המספרים האי-שליליים, כלומר התומך של התפלגות גמא הוא הקטע $\,\![0, \infty)$.

פונקציית התפלגות מצטברת

פונקציית ההתפלגות המצטברת של התפלגות גמא היא

$F(x) = \int_0^x f(s)\,ds = \left\{\begin{matrix} \displaystyle \frac{\gamma(\alpha, \lambda x)}{\Gamma(\alpha)} &\; x \ge 0 \\ \\ 0 &\; x < 0 \end{matrix}\right.$

כאשר $\gamma(\alpha,\lambda x)\!$ היא פונקציית גמא הלא שלמה התחתונה: $\gamma(\alpha,\lambda x) = \int_0^{\lambda x} t^{\alpha-1}\,e^{-t}\,{\rm d}t \,\!$

כשהפרמטר $\,\!\alpha$ הוא מספר שלם (כלומר ההתפלגות היא התפלגות ארלנג), ניתן לכתוב את פונקציית ההתפלגות המצטברת בצורה יותר מפורשת,

$F(x) = \left\{\begin{matrix} \displaystyle 1 - \sum_{i=0}^{\alpha-1} \frac{(\lambda x)^i}{i!} e^{-\lambda x} &\; x \ge 0 \\ \\ 0 &\; x < 0 \end{matrix}\right.$

תכונות

תוחלת ושונות

התוחלת של משתנה מקרי $\,\!X \sim \textrm{Gamma}(\lambda, \alpha)$ היא $\,\!E(X) = \alpha/\lambda$; השונות היא $\mathrm{Var}(X) = \alpha/\lambda^2\,\!$.

פונקציית סיכון

פונקציית הסיכון (Hazard function) של התפלגות גמא, $\frac{f(x)}{1-F(x)}$, היא $h(x) = \frac{\lambda^\alpha x^{\alpha - 1}e^{-\lambda x}}{\Gamma(\alpha) - \gamma(\alpha, \lambda x)}$.

קשר להתפלגויות אחרות

התפלגות מעריכית

ההתפלגות המעריכית היא מקרה פרטי של התפלגות גמא: משתנה מקרי $\mathrm{Gamma}(\lambda, 1)\!$ (כלומר עם פרמטר צורה 1) הוא משתנה מקרי $\,\!\mathrm{exp}(\lambda)$.

הסכום של n משתנים מקריים בלתי תלויים $\,\!\mathrm{exp}(\lambda)$ מתפלג $\,\!\mathrm{Gamma}(\lambda, n)$.

התפלגות פואסון

אם תופעה מסוימת מתרחשת מפעם לפעם, כך שפרקי הזמן בין התרחשות להתרחשות הם משתנים מקריים מעריכיים בלתי תלויים $\,\!\mathrm{exp}(\lambda)$, אז מספר ההתרחשויות בפרק זמן שאורכו t מתפלג פואסונית עם פרמטר $\lambda t$. תהליך שכזה נקרא תהליך פואסון (הומוגני בזמן), ומתקיים בו שהזמן מתחילת התהליך עד להתרחשות מספר n מתפלג $\mathrm{Gamma}(\lambda, n)\!$.

כדוגמה קונקרטית, נניח שבידנו מספר נורות שזמן החיים של כל אחת מהן מתפלג $\,\!\mathrm{exp}(\lambda)$, ונחשוב על המערכת הבאה: מחברים את הנורות לחשמל ומדליקים את הנורה הראשונה בלבד; ברגע שהיא נשרפת, מדליקים את הנורה השנייה; ברגע שגם היא נשרפת, מדליקים את הנורה השלישית; וכן הלאה. אזי מספר הנורות שנשרפות עד זמן $t$ מתפלג פואסונית עם פרמטר $\lambda t$, והזמן מתחילת התהליך עד שריפת נורה מספר n מתפלג $\mathrm{Gamma}(\lambda, n)\!$.

התפלגות כי בריבוע

התפלגות כי בריבוע היא מקרה פרטי של התפלגות גמא: משתנה מקרי $\,\!\chi^2_n$ (כלומר עם n דרגות חופש) הוא משתנה מקרי $\,\!\mathrm{Gamma}(1/2, n/2)$.