התפלגות לוגיסטית

התפלגות לוגיסטית

פונקציית צפיפות ההסתברות
פונקציית ההסתברות המצטברת
מאפיינים
פרמטרים	$\ \sigma > 0$ ,$-\infty < \mu < \infty$
תומך	$\ \Bbb{R}$
פונקציית הסתברות (pmf)
פונקציית צפיפות הסתברות (pdf)	$\frac{e^{-(x-\mu)/s}} {s\left(1+e^{-(x-\mu)/s}\right)^2}\!$
פונקציית ההסתברות המצטברת (cdf)	$\frac{1}{1+e^{-(x-\mu)/s}}\!$
תוחלת	$\ \mu$
חציון	$\ \mu$
ערך שכיח	$\ \mu$
שוֹנוּת	$\frac{\pi^2}{3} s^2\!$
אנטרופיה	$\ln(s)+2\,$
פונקציה יוצרת מומנטים (mgf)	$e^{\mu\,t}\,\mathrm{B}(1-s\,t,\;1+s\,t)\!$ עבור $|s\,t|<1\!$, פונקציית בטא
צידוד	$\ 0$
גבנוניות	$\ 6/5$

התפלגות לוגיסטית היא התפלגות רציפה, שעד כדי הזזה וכיווץ, הקובעים את התוחלת והשונות, פונקציית ההתפלגות המצטברת שלה היא הפונקציה הלוגיסטית $\ \frac{1}{1+e^{-x}}$. צורת ההתפלגות דומה לזו של ההתפלגות הנורמלית, אך היא בעלת גבנוניות גדולה יותר (החריגות מהתוחלת הן גדולות ונדירות יותר).

פונקציית ההתפלגות

ההתפלגות הלוגיסטית מאופיינת בשני פרמטרים, $\ \mu$ ו- $\ s$. פונקציית ההסתברות המצטברת של ההתפלגות היא הפונקציה הלוגיסטית המוזזת ב-$\ \mu$ ומכווצת פי $\ s$: $F_X(x) = \frac{1}{1+e^{-(x-\mu)/s}}\!$

פונקציית הצפיפות היא הנגזרת של פונקציה זו: $\ f_X(x) = \frac{e^{-(x-\mu)/s}}{s(1+e^{-(x-\mu)/s})^2}$. למשתנה מקרי בעל התפלגות כזו יש תוחלת $\ \mu$, ושונות $\ \frac{\pi^2s^2}{3}$.

פונקציית סיכון

פונקציית הסיכון (Hazard function) של ההתפלגות לוגיסטית היא : $h(x)=\frac{1}{s(1+e^{-(x-\mu)/s})}\!$

שימושים

• בשחמט, דירוג השחקנים מחושב על פי התפלגות לוגיסטית במד הכושר.
• באקולוגיה משמשת ההתפלגות הלוגיסטית לתיאור הגידול הטבעי באוכלוסיית מינים, התלוי בגודל האוכלוסייה הקיימת ובכמות המשאבים הזמינים.
• באפידמיולוגיה - לתיאור התפשטות מגפות.
• בפסיכולוגיה - לתיאור תהליכי למידה.
• תיאור האופן שבו טכנולוגיות, מקורות אנרגיה או מוצרי שיווק מסוגים שונים נפוצים ומחליפים אלו את אלו.