התפלגות לוגיסטית

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
התפלגות לוגיסטית
פונקציית צפיפות ההסתברות
Logisticpdfunction.png
פונקציית ההסתברות המצטברת
Logistic cdf.png
מאפיינים
פרמטרים \ \sigma > 0 ,-\infty < \mu < \infty
תומך \ \Bbb{R}
פונקציית הסתברות

(pmf)

פונקציית צפיפות הסתברות

(pdf)

\frac{e^{-(x-\mu)/s}} {s\left(1+e^{-(x-\mu)/s}\right)^2}\!
פונקציית ההסתברות המצטברת

(cdf)

\frac{1}{1+e^{-(x-\mu)/s}}\!
תוחלת \ \mu
חציון \ \mu
ערך שכיח \ \mu
שוֹנוּת \frac{\pi^2}{3} s^2\!
אנטרופיה \ln(s)+2\,
פונקציה יוצרת מומנטים

(mgf)

e^{\mu\,t}\,\mathrm{B}(1-s\,t,\;1+s\,t)\!
עבור |s\,t|<1\!, פונקציית בטא
צידוד \ 0
גבנוניות \ 6/5

התפלגות לוגיסטית היא התפלגות רציפה, שעד כדי הזזה וכיווץ, הקובעים את התוחלת והשונות, פונקציית ההתפלגות המצטברת שלה היא הפונקציה הלוגיסטית \ \frac{1}{1+e^{-x}}. צורת ההתפלגות דומה לזו של ההתפלגות הנורמלית, אך היא בעלת גבנוניות גדולה יותר (החריגות מהתוחלת הן גדולות ונדירות יותר).

פונקציית ההתפלגות[עריכת קוד מקור | עריכה]

ההתפלגות הלוגיסטית מאופיינת בשני פרמטרים, \ \mu ו- \ s. פונקציית ההסתברות המצטברת של ההתפלגות היא הפונקציה הלוגיסטית המוזזת ב-\ \mu ומכווצת פי \ s: F_X(x) = \frac{1}{1+e^{-(x-\mu)/s}}\!

פונקציית הצפיפות היא הנגזרת של פונקציה זו: \ f_X(x) = \frac{e^{-(x-\mu)/s}}{s(1+e^{-(x-\mu)/s})^2}. למשתנה מקרי בעל התפלגות כזו יש תוחלת \ \mu, ושונות \ \frac{\pi^2s^2}{3}.

פונקציית סיכון[עריכת קוד מקור | עריכה]

פונקציית הסיכון (Hazard function) של ההתפלגות לוגיסטית היא : h(x)=\frac{1}{s(1+e^{-(x-\mu)/s})}\!

שימושים[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • בשחמט, דירוג השחקנים מחושב על פי התפלגות לוגיסטית במד הכושר.
  • באקולוגיה משמשת ההתפלגות הלוגיסטית לתיאור הגידול הטבעי באוכלוסיית מינים, התלוי בגודל האוכלוסייה הקיימת ובכמות המשאבים הזמינים.
  • באפידמיולוגיה - לתיאור התפשטות מגפות.
  • בפסיכולוגיה - לתיאור תהליכי למידה.
  • תיאור האופן שבו טכנולוגיות, מקורות אנרגיה או מוצרי שיווק מסוגים שונים נפוצים ומחליפים אלו את אלו.