התפלגות לוג-נורמלית

התפלגות לוג נורמלית

פונקציית צפיפות ההסתברות
פונקציית ההסתברות המצטברת
מאפיינים
פרמטרים	$\ \mu$, $\ \sigma$.
תומך	$\ (0,\infty)$
פונקציית הסתברות (pmf)
פונקציית צפיפות הסתברות (pdf)	$\frac1{x\sigma\sqrt{2\pi}}\; \exp\left(-\frac{\left(\ln x-\mu\right)^2}{2\sigma^2} \right) \!$
פונקציית ההסתברות המצטברת (cdf)	$\frac12 \left(1 + \mathrm{erf}\,\frac{\ln x-\mu}{\sigma\sqrt2}\right) \!$
תוחלת	$\ e^{\mu+\sigma^2/2}$
חציון	$\ e^{\mu}$
ערך שכיח	$\ e^{\mu-\sigma^2}$
שוֹנוּת	$\ (e^{\sigma ^2}-1)e^{2\mu+\sigma^2}$
אנטרופיה	$\frac12 + \frac12 \ln(2\pi\sigma^2) + \mu$
פונקציה יוצרת מומנטים (mgf)
צידוד	$(e^{\sigma^2}\!\!+2) \sqrt{e^{\sigma^2}\!\!-1}$
גבנוניות	$e^{4\sigma^2}\!\! + 2e^{3\sigma^2}\!\! + 3e^{2\sigma^2}\!\! - 6$

התפלגות לוג-נורמלית היא התפלגות של משתנה אקראי, שפונקציית הצפיפות שלה היא $\frac1{x\sigma\sqrt{2\pi}}\; \exp\left(-\frac{\left(\ln x-\mu\right)^2}{2\sigma^2} \right) \!$ בתחום $\ x>0$. אם $\ X$ הוא משתנה אקראי שמתפלג נורמלית, אז $\ e^X$ מתפלג לוג-נורמלית, וההפך- אם $\ Y$ הוא משתנה אקראי שמתפלג לוג-נורמלית, אז $\ \log(Y)$ מתפלג נורמלית. בסיס הלוגריתם לא משנה - שכן לוגריתמים בבסיסים שונים קשורים בקשר לינארי.

לפי משפט הגבול המרכזי, מכפלה של מספר רב של משתנים חיוביים בלתי תלויים ובעלי אותה התפלגות מתפלגת, בקירוב טוב, לוג-נורמלית. התפלגות כזו מופיעה כאשר הערך הנמדד נוצר על ידי הצטברות כפלית של גורמים רבים. לדוגמה, המשקל ולחץ הדם של בני אדם, מספר המילים במשפטים שכתב ג'ורג' ברנרד שו, זמן השרידה של חיידקים בחומר חיטוי, הנחתה בתקשורת אלחוטית ועוד.

מאפיינים

אם $\ X$ הוא משתנה אקראי שמתפלג לוג נורמלית, אז:

• פונקציית הצפיפות של X היא $\ f_X(x; \mu,\sigma)=\frac1{x\sigma\sqrt{2\pi}}\; \exp\left(-\frac{\left(\ln x-\mu\right)^2}{2\sigma^2} \right) \!$ והיא מוגדרת רק על החצי החיובי של הישר הממשי. הפרמטרים $\ \mu,\sigma$ הם התוחלת וסטיית התקן של הלוגריתם הטבעי של המשתנה.
• פונקציית ההצטברות היא $F_X(x;\mu,\sigma) = \frac12 \operatorname{erfc}\!\left[-\frac{\ln x - \mu}{\sigma\sqrt{2}}\right] = \Phi\bigg(\frac{\ln x - \mu}{\sigma}\bigg)$, כאשר erfc היא פונקציית השגיאה המשלימה, ו-$\ \Phi$ היא פונקציית ההתפלגות המצטברת של משתנה נורמלי סטנדרטי.
• התוחלת והשונות הן:

  $\mathrm{E}[X] = e^{\mu + \tfrac{1}{2}\sigma^2}$

  $\mathrm{Var}[X] = (e^{\sigma^2} - 1) e^{2\mu + \sigma^2}$

• השכיח והחציון הם:

  $\ \mathrm{Mode}[X] = e^{\mu - \sigma^2}$

  $\ \mathrm{Med}[X] = e^{\mu}$

• המומנט ה-n-י נתון על ידי: : $\operatorname{E}[X^n] = e^{n\mu + \tfrac{1}{2}n^2\sigma^2}$, ולכן הפונקציה יוצרת המומנטים אינה מתכנסת פרט לנקודת הראשית. בהקשר זה, חשוב לציין כי התפלגות לוג-נורמלית אינה נקבעת באופן יחיד על ידי סדרת המומנטים שלה ($\ {E[X^n]}_{n=1}^{\infty}$).
• התוחלת החלקית של משתנה אקראי X המתפלג לוג-נורמלית ביחס לחסם תחתון k היא:

  $g(k) = \int_k^\infty \!xf(x)\, dx = e^{\mu+\tfrac{1}{2}\sigma^2}\, \Phi\!\left(\frac{\mu+\sigma^2-\ln k}{\sigma}\right)$

  לנוסחה זו שימושים בענפי הכלכלה והביטוח. כך למשל, היא משמשת בהוכחת הנוסחה של מודל בלק ושולס.

דוגמה

התפלגות אורכי הערכים בוויקיפדיה, אוקטובר 2009. הציר האופקי הוא בסקאלה לוגריתמית.

בגרף מימין - התפלגות הלוגריתם (לפי בסיס 2) של אורכי הערכים בויקיפדיה העברית, בבתים, לפי דגימת בסיס הנתונים שנעשתה בסוף אוקטובר 2009. מן הנתונים נוכו כ-3500 "ערכי שנים" משני סוגים - שנים עבריות ושנים לועזיות - שרובם המכריע נוצרים על ידי בוט והם ערכים שבלוניים בעלי מאפיינים אחידים (לוגריתם האורך $\ 10.97\pm 0.43$ בקבוצה אחת ו- $\ 11.61\pm 0.41$ בשנייה) שאינם מתאימים להתפלגות הערכים האחרים ($\ 11.97 \pm 1.36$).

לנתונים צידוד $\ -0.105$, המצביע על נטיית-מה בין הנתונים הרחוקים מן הממוצע להיות נמוכים ממנו, וגבנוניות $\ 0.87$, המצביעה על חריגות מן הממוצע, המתבטאות בזנבות עבים של ההתפלגות.

מלבד גורמים אלה, התפלגות הלוגריתם קרובה להתפלגות נורמלית: אורכם של ערכים בוויקיפדיה העברית מתפלג, בקירוב, לוג-נורמלית.

התפלגויות קשורות

• אם $\ X$ מתפלג נורמלית עם $\ (\mu,\sigma^2)$ אז $\ e^{X}$ מתפלג לוג-נורמלית עם אותם פרמטרים.
• אם $\ X$ מתפלג לוג-נורמלית עם $\ (\mu,\sigma^2)$, אז $\ \ln(X)$ מתפלג נורמלית עם אותם פרמטרים.
• אם $X_i$ הם משתנים אקראיים בלתי-תלויים המתפלגים לוג-נורמלית עם $(\mu_i, \sigma_i^2)$ אז מכפלתם מתפלגת לוג-נורמלית עם $Y = \textstyle\prod_{j} X_j \sim \operatorname{Log-\mathcal{N}}\Big(\textstyle \sum_{j}\mu_j,\ \sum_{j} \sigma_j^2 \Big)$.
• אם X מתפלג לוג-נורמלית עם $\ (\mu,\sigma^2)$ אז $\ Y=aX$ מתפלג לוג-נורמלית עם $\ (\mu+ln(a),\sigma^2)$.
• אם X מתפלג לוג-נורמלית עם $\ (\mu,\sigma^2)$ אז $\ X^r$ מתפלג לוג-נורמלית עם $\ (r\mu,r^2\sigma^2)$. בפרט, $\ 1/X$ מתפלג לוג-נורמלית עם $\ (-\mu,\sigma^2)$.

קישורים חיצוניים

• התפלגות לוג נורמלית באתר mathworld.