התפלגות ריילי

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
התפלגות ריילי
פונקציית צפיפות ההסתברות
Rayleigh distributionPDF.png
פונקציית ההסתברות המצטברת
Rayleigh distributionCDF.png
מאפיינים
פרמטרים \ \sigma
תומך \ [0,\infty)
פונקציית הסתברות

(pmf)

פונקציית צפיפות הסתברות

(pdf)

\ \frac{x}{\sigma^2}\exp(-\frac{x^2}{2\sigma^2})
פונקציית ההסתברות המצטברת

(cdf)

\ 1-\exp(-\frac{x^2}{2\sigma^2})
תוחלת  \sqrt{\frac{\pi}{2}}\cdot \sigma
חציון \sigma\sqrt{\ln(4)}\,
ערך שכיח \sigma\,
שוֹנוּת \frac{4 - \pi}{2} \sigma^2
אנטרופיה 1+\ln\left(\frac{1}{\sqrt{2}\sigma^3}\right)+\frac{\gamma}{2}
פונקציה יוצרת מומנטים

(mgf)

M_X(t)= \exp\left(\mu\,t+\frac{\sigma^2 t^2}{2}\right)
צידוד \frac{2\sqrt{\pi}(\pi - 3)}{(4-\pi)^{3/2}}
גבנוניות -\frac{6\pi^2 - 24\pi +16}{(4-\pi)^2}

בהסתברות ובסטטיסטיקה, התפלגות ריילי היא התפלגות רציפה, המתקבלת כאורך של וקטור דו-ממדי ששני רכיביו מתפלגים נורמלית, עם תוחלת אפס ואותה סטיית תקן. למשל, אם הסטיות של קליע מן המטרה מתפלגות נורמלית בציר X ובציר Y, ובלתי תלויות זו בזו, אז מרחק הקליע מן המטרה מתפלג לפי התפלגות ריילי.

ההתפלגות תלויה בפרמטר \ \sigma, המציין את סטיית התקן של הרכיבים בווקטור. פונקציית הצפיפות היא f(x|\sigma) = \frac{x \exp\left(\frac{-x^2}{2\sigma^2}\right)}{\sigma^2}.. המומנטים נתונים על ידי \mu_k=\sigma^k2^{k/2}\,\Gamma(1+k/2)\,, כאשר \ \Gamma מסמנת את פונקציית גמא. בפרט, מתקבלים: התוחלת \sigma \sqrt{\frac{\pi}{2}}, השונות \frac{4-\pi}{2} \sigma^2, הצידוד \frac{2\sqrt{\pi}(\pi - 3)}{(4-\pi)^{3/2}} והגבנוניות - \frac{6\pi^2 - 24\pi +16}{(4-\pi)^2}.

אמידת פרמטרים[עריכת קוד מקור | עריכה]

בהינתן מדגם בן N ערכים בלתי תלויים ושווי התפלגות מהתפלגות ריילי עם פרמטר \sigma (שאינו ידוע), אומד הנראות המקסימלית של הפרמטר נתון על ידי הנוסחה \hat{\sigma}=\sqrt{\frac{1}{2N}\sum_{i=1}^N x_i^2}.

התפלגויות דומות[עריכת קוד מקור | עריכה]

\ Y=\sqrt{2X\sigma^2\lambda} \sim \mathrm{Rayleigh}(y|\sigma).

\ [Y=\sum_{i=1}^N R_i^2] \sim \Gamma(N,2\sigma^2).

התפלגות כי בריבוע, התפלגות רייס, התפלגות וויבול מהוות כולן הכללות של התפלגות ריילי.

התפלגות מקסוול-בולצמן היא התפלגות האורך של וקטור נורמלי תלת-ממדי, בדומה להתפלגות ריילי, המתאימה למקרה הדו-ממדי.

פונקציית סיכון[עריכת קוד מקור | עריכה]

פונקציית הסיכון (Hazard function) של ההתפלגות ריילי היא לינארית, וערכה הוא h(x)=\frac{x}{\sigma^2}\!.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

לקריאה נוספת[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • Papoulis, A. Probability, Random Variables, and Stochastic Processes, 2nd ed. New York: McGraw-Hill, pp. 104 and 148, 1984