התפלגות ריילי

התפלגות ריילי

פונקציית צפיפות ההסתברות
פונקציית ההסתברות המצטברת
מאפיינים
פרמטרים	$\ \sigma$
תומך	$\ [0,\infty)$
פונקציית הסתברות (pmf)
פונקציית צפיפות הסתברות (pdf)	$\ \frac{x}{\sigma^2}\exp(-\frac{x^2}{2\sigma^2})$
פונקציית ההסתברות המצטברת (cdf)	$\ 1-\exp(-\frac{x^2}{2\sigma^2})$
תוחלת	$\sqrt{\frac{\pi}{2}}\cdot \sigma$
חציון	$\sigma\sqrt{\ln(4)}\,$
ערך שכיח	$\sigma\,$
שוֹנוּת	$\frac{4 - \pi}{2} \sigma^2$
אנטרופיה	$1+\ln\left(\frac{1}{\sqrt{2}\sigma^3}\right)+\frac{\gamma}{2}$
פונקציה יוצרת מומנטים (mgf)	$M_X(t)= \exp\left(\mu\,t+\frac{\sigma^2 t^2}{2}\right)$
צידוד	$\frac{2\sqrt{\pi}(\pi - 3)}{(4-\pi)^{3/2}}$
גבנוניות	$-\frac{6\pi^2 - 24\pi +16}{(4-\pi)^2}$

בהסתברות ובסטטיסטיקה, התפלגות ריילי היא התפלגות רציפה, המתקבלת כאורך של וקטור דו-ממדי ששני רכיביו מתפלגים נורמלית, עם תוחלת אפס ואותה סטיית תקן. למשל, אם הסטיות של קליע מן המטרה מתפלגות נורמלית בציר X ובציר Y, ובלתי תלויות זו בזו, אז מרחק הקליע מן המטרה מתפלג לפי התפלגות ריילי.

ההתפלגות תלויה בפרמטר $\ \sigma$, המציין את סטיית התקן של הרכיבים בווקטור. פונקציית הצפיפות היא $f(x|\sigma) = \frac{x \exp\left(\frac{-x^2}{2\sigma^2}\right)}{\sigma^2}.$. המומנטים נתונים על ידי $\mu_k=\sigma^k2^{k/2}\,\Gamma(1+k/2)\,$, כאשר $\ \Gamma$ מסמנת את פונקציית גמא. בפרט, מתקבלים: התוחלת $\sigma \sqrt{\frac{\pi}{2}}$, השונות $\frac{4-\pi}{2} \sigma^2$, הצידוד $\frac{2\sqrt{\pi}(\pi - 3)}{(4-\pi)^{3/2}}$ והגבנוניות $- \frac{6\pi^2 - 24\pi +16}{(4-\pi)^2}$.

אמידת פרמטרים

בהינתן מדגם בן N ערכים בלתי תלויים ושווי התפלגות מהתפלגות ריילי עם פרמטר $\sigma$ (שאינו ידוע), אומד הנראות המקסימלית של הפרמטר נתון על ידי הנוסחה $\hat{\sigma}=\sqrt{\frac{1}{2N}\sum_{i=1}^N x_i^2}.$

התפלגויות דומות

• אם $\ X,Y \sim N(0, \sigma^2)$ משתנים נורמליים בלתי תלויים, אז $\ R = \sqrt{X^2 + Y^2} \sim \mathrm{Rayleigh}(\sigma)$ מתפלג לפי התפלגות ריילי (מכאן הפרמטר סיגמא).
• אם $\ R \sim \mathrm{Rayleigh}(1)$, אז $\ R^2$ מתפלג התפלגות כי בריבוע עם שתי דרגות חופש.
• אם $\ X$ מתפלג התפלגות אקספוננציאלית, $\ X \sim \mathrm{Exponential}(x|\lambda)$, אז

$\ Y=\sqrt{2X\sigma^2\lambda} \sim \mathrm{Rayleigh}(y|\sigma)$.

• אם $\ R \sim \mathrm{Rayleigh}(\sigma)$ אז לסכום הריבועים $\ \sum_{i=1}^N R_i^2$ יש התפלגות גמא עם הפרמטרים N ו- $2\sigma^2$:

$\ [Y=\sum_{i=1}^N R_i^2] \sim \Gamma(N,2\sigma^2)$.

התפלגות כי בריבוע, התפלגות רייס, התפלגות וויבול מהוות כולן הכללות של התפלגות ריילי.

התפלגות מקסוול-בולצמן היא התפלגות האורך של וקטור נורמלי תלת-ממדי, בדומה להתפלגות ריילי, המתאימה למקרה הדו-ממדי.

פונקציית סיכון

פונקציית הסיכון (Hazard function) של ההתפלגות ריילי היא לינארית, וערכה הוא $h(x)=\frac{x}{\sigma^2}\!$.

ראו גם

• התפלגות נורמלית
• התפלגות רייס

לקריאה נוספת

• Papoulis, A. Probability, Random Variables, and Stochastic Processes, 2nd ed. New York: McGraw-Hill, pp. 104 and 148, 1984