וקטור קואורדינטות

באלגברה לינארית, וקטור קואורדינטות של איבר במרחב וקטורי הוא וקטור עמודה המציג את אותו איבר ביחס לבסיס נתון. וקטורי קואורדינטות מאפשרים לתרגם חישובים וטענות ממרחב וקטורי כללי אל מרחב הוקטורים הסטנדרטיים $\ F^n$.

יהי $\ B = \{b_1,\dots,b_n\}$ בסיס סדור של המרחב הוקטורי V, מעל השדה F. לפי ההגדרה פירוש הדבר הוא שכל וקטור ב-V אפשר להציג, באופן יחיד, כסכום $\ v = \alpha_1 b_1 + \cdots + \alpha_n b_n$. וקטור הקואורדינטות של v ביחס לבסיס B הוא וקטור העמודה $\ [v]_B=(\alpha_1,\dots,\alpha_n)^T$. ההעתקה $\ V \rightarrow F^n$ המוגדרת לפי $\ v \mapsto [v]_B$ היא איזומורפיזם של מרחבים וקטוריים, ובעצם קיומה היא מוכיחה שכל מרחב וקטורי n-ממדי איזומורפי למרחב וקטורי העמודה הסטנדרטי.

וקטור הקואורדינטות של וקטור $\ v \in F^n$ לפי הבסיס הסטנדרטי, הוא הוקטור v עצמו.

וקטורי הקואורדינטות של v ביחס לבסיסים שונים קשורים זה בזה דרך מטריצת המעבר בין הבסיסים: $\ [v]_C = M^B_C [v]_B$.

את המושג שהוגדר כאן עבור מרחבים וקטוריים אפשר להכליל לכל מודול חופשי, ולמרחבים וקטוריים ממימד אינסופי.