זהות קפלי

בתורת החוגים, זהות קפלי היא הזהות $c_{n}=0$, כאשר $c_{n}=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn} (\sigma )x_{\sigma (1)}y_{1}x_{\sigma (2)}y_{2}\cdots x_{\sigma (n)}y_{n}$ הוא פולינום קפלי ב-$2n$ משתנים. כל אלגברה מממד קטן מ-$n$ מקיימת את הזהות $c_{n}=0$. התפקיד המרכזי של זהויות קפלי בתורת החוגים עם זהויות ("חוגי-PI") נובע מכך שכל אלגברת PI אפינית מקיימת זהות קפלי כלשהי; ובנוכחות זהות קפלי $c_{n}=0$, כל זהות שקולה למסקנות שלה בפחות מ-$n$ משתנים.

הזהות $c_{n}=0$ נובעת מן הזהות $c_{n-1}=0$, כך שהתנאי $c_{n}=0$ הולך ונעשה חלש כאשר $n$ גדל. באלגברה עם יחידה $c_{1}\neq 0$, ו-$c_{2}=0$ אם ורק אם האלגברה קומוטטיבית. פולינום $f$ נקרא $n$-מתחלף אם לכל $1\leq i,j\leq n$ מתקיים $f(...,x_{i},...,x_{j},...)=-f(...,x_{j},...,x_{i},...)$. פולינום קפלי ה-$n$-י הוא $n$-מתחלף; וכזהות, הוא הפולינום ה-$n$-מתחלף הכללי ביותר: $c_{n}=0$ היא זהות של האלגברה $A$, אם ורק אם כל פולינום $n$-מתחלף הוא זהות של $A$. לדוגמה, את הזהות הסטנדרטית $s_{n}=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn} (\sigma )x_{\sigma (1)}\cdots x_{\sigma (n)}$ אפשר להסיק מהזהות $c_{n}$ על ידי ההצבה $y_{i}\mapsto 1$ (והיא אכן n-מתחלפת). אלגברת המטריצות $M_{n}(F)$ (מעל שדה $F$) מקיימת את זהות קפלי $c_{n^{2}+1}$, אבל לא את הזהות $c_{n^{2}}$. האלגברה $M_{n}(R)$ מקיימת את $c_{n^{2}+1}$ אם ורק אם $R$ קומוטטיבי.

אם $A$ אלגברה מעל שדה $F$ ממאפיין 0, אפשר ללמוד את תורת ההצגות שלה בעזרת מרחב הקו-קרקטרים $\ \chi _{n}(A)=V_{n}/(V_{n}\cap \operatorname {id} (A))$ (כאשר $\ V_{n}$ הוא מרחב הפולינומים המולטילינאריים במשתנים $\ x_{1},\dots ,x_{n}$), שהם מודולים מעל החבורות הסימטריות $\ S_{n}$ על ידי פעולת ההצבה. תורת ההצגות של החבורה הסימטרית ממיינת את ההצגות האי-פריקות האלה, ומאפשרת להוכיח את המשפט הבא: אלגברה $A$ מקיימת את זהות קפלי $c_{m}$ אם ורק אם דיאגרמת יאנג של כל תת-הצגה אי-פריקה של $\ \chi _{n}(A)$ היא בעלת פחות מ-m שורות.

קמר הוכיח שבמאפיין חיובי, כל אלגברת-PI מקיימת זהות קפלי. הוא הראה גם שבמאפיין 0, כל אלגברת-PI אפינית מקיימת זהות כזו. אלגברת גרסמן היא דוגמה לאלגברה לא אפינית, במאפיין 0, שאינה מקיימת אף זהות קפלי. במאפיין 0, לכל $n$ קיימת זהות קפלי $c_{m}$ הנובעת מן הזהות הסטנדרטית $s_{n}$.

אלגברה אפינית מעל שדה מקיימת זהות קפלי (כלשהי) אם ורק אם הרדיקל שלה הוא נילפוטנטי. עובדה זו מוליכה לאחד המשפטים החשובים בתורת הזהויות, משפט רזמיסלוב-קמר-בראון, שלפיו הרדיקל של כל אלגברת-PI אפינית הוא נילפוטנטי.