זמן עצמי

בתורת היחסות, זמן עצמי של גוף כלשהו הוא הזמן כפי שהוא נמדד על ידי שעון הצמוד לאותו הגוף ונע עימו.

הגדרה מתמטית

איור הממחיש את התארכות הזמן. המערכת באיור הימני נקראת "המערכת הנייחת" ולזמן הנמדד בה קוראים "הזמן העצמי". המערכת באיור השמאלי נעה במהירות קבועה $\ v$ בניצב לכיוון התקדמות קרן האור.

בתורת היחסות מתארים את מסלולו של חלקיק על ידי משוואה פרמטרית

$x^\mu=x^\mu(s)\$

כאשר s פרמטר סקלרי (כלומר סקלר של לורנץ) ו-$x^\mu$ הוא ה-4-וקטור של המקום והזמן של החלקיק. מתוך משוואה זו ניתן להגדיר סקלר $\ \tau$ כך, $\ c^2 d\tau^2=dx^\mu dx_\mu$. מקובל למעשה להשתמש בו בתור הפרמטר הסקלרי, כלומר $x^\mu=x^\mu(\tau)\$. פרמטר זה נקרא ה"זמן העצמי" של החלקיק. הגודל $\ dx^\mu$ מפורש כאן בתור ההפרש הדיפרנציאלי בין המקום והזמן של החלקיק ברגע הנתון ובין המקום והזמן שהוא יהיה בהם "ברגע הבא", כלומר השינוי הדיפרנציאלי במיקומו במרחב-זמן. בתורת היחסות הפרטית שינוי זה נתון על ידי:

$c^2 d\tau^2=c^2 dt^2 - d\vec{x}^2$

כאשר $d\vec{x}$ הוא השינוי במקומו של החלקיק שהתרחש בפרק הזמן $\ dt$.

הקשר בין $\ \tau$ כפי שהוגדר לבין ההגדרה שלו כ"זמן עצמי" מתקבל כאשר מיישמים את ההגדרה במערכת שבה החלקיק במנוחה, משום שבמקרה זה אין הפרש במקום (החלקיק נח) כלומר

$\ d\tau^2=dt^2$

ועל כן זהו הזמן, כפי שהוא נמדד במערכת שבה החלקיק נח, כלומר כפי שהוא נמדד על ידי שעון דמיוני הצמוד לחלקיק.

זמן זה הוא הזמן הקצר ביותר בין שני אירועים. עבור צופה במערכת שבה החלקיק משנה את מיקומו, פרק הזמן בין האירועים יתארך ויעמוד על

$\ dt = \gamma(v) d\tau = \frac{d \tau }{\sqrt{1-(v^2/c^2)}} > d \tau$

ראו גם

• תורת היחסות הפרטית
• פרדוקס התאומים