זרימה טורבולנטית

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
צילום זרימה טורבולנטית

במכניקת הזורמים, זרימה טורבולנטית (זרימה עירבולית) היא זרימת נוזל באופן לא מסודר וסטוכסטי. על כן ניתן לחשב את התנהגותה הממוצעת לאורך הזרימה בלבד, ואפילו בשתי נקודות סמוכות עלול להיות זרימה לכיוונים אחרים. רוב הזרימות הטבעיות והתעשייתיות, כגון זרימה באטמוספרה, באוקיינוסים, במכוניות ובמטוסים, הן טורבולנטיות בשלמותן או במקצתן. בזרימה טורבולנטית ניתן לראות כי פרמטרים מרכזיים של הזרימה, כגון מהירות ולחץ תונדים בצורה אקראית, כתוצאה מכך יש לזרימה מגוון רחב של זמנים ומרחקים אופייניים.[1]

תמונה מניסוי של NASA המדגימה מערבולות קצה כנף (חלק מתופעת wake turbulence)

זרימה טורבולנטית מאופיינת בשלוש תכונות מרכזיות:

  1. אי סדר בזרימה
  2. ערבוב יעיל של זורם חדש שנכנס
  3. ערבוליות תלת ממדית

זאת להבדיל מזרימה למינרית מסודרת יותר.

בכדי לנבא אם תתפתח בזרימה מסוימת זרימה למינרית או טורבולנטית, מקובל להסתכל על מספר ריינולדס. מספר ריינולדס מראה האם הזרימה תגביר הפרעות (במספרי ריינולדס גבוהים) ואז תיווצר זרימה טורבולנטית. כך, בזרימה בצינור מקובל להגיד שיש מעבר לזרימה טורבולנטית במספר ריינולדס של כ-2000. עם זאת, ניתן לדחות התפתחות טורבולנציה על ידי הפחתת ההפרעות (לדוגמה על ידי שינוי צורת הכניסה של הזורם למערכת).

חתן פרס הנובל ריצ'רד פיינמן תיאר זרימה טורבולנטית בתור "הבעיה הלא פתורה החשובה ביותר של הפיזיקה הקלאסית."[2] כמו כן, לפי אגדת עם, כאשר ורנר הייזנבג נשאל מה הוא היה שואל את אלוהים לו ניתנה לו ההזדמנות, הוא ענה: "כאשר אפגוש את אלוהים, אשאל אותו שתי שאלות: למה יחסות? ולמה טורבולנציה? ואני באמת חושב שתהיה לו תשובה לראשון."‏[3]

ערכים ממוצעים[עריכת קוד מקור | עריכה]

מהירות ממוצעת עבור זרימה טורבולנטית

עקב אי-הסדר בזרימה טורבולנטית, מקובל להסתכל במקרים רבים על הערכים הממוצעים של המהירות.

כך למשל, אם נגדיר את u כרכיב המהירות הרגעית בכיוון x, נקבל שהמהירות הממוצעת \bar{u} מקיימת את המשוואה: \bar{u}=\frac{1}{T}\int\limits_{0}^{T}{udt}. הערך הרגעי u מורכב משני רכיבים, ערך ממוצע וערך תונד: u=\bar{u}+u'. כאשר ממוצע התנודות מתאפס \overline{u'}=0. ניתן למדוד את עוצמת הטורבולנטיות בעזרת שורש ממוצע הריבועים של המהירות: \sqrt{\overline{u{{'}^{2}}}}={{\left[ \underset{T\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\int_{0}^{T}{u{{'}^{2}}dt} \right]}^{{\scriptstyle{}^{1}\!\!\diagup\!\!{}_{2}\;}}}[1] ניתן לעשות ניתוח דומה עבור מהירות v בכיוון y ומהירות w בכיוון z.

משוואת ריינולדס הממוצעות[עריכת קוד מקור | עריכה]

אם ניקח זמן T מספיק גדול כך שיכיל הרבה מערבולות אך קטן מהזמן האופייני של המערכת, נוכל לפתח את משוואת הרציפות הממוצעת: \frac{\partial \overline{u}}{\partial x}+\frac{\partial \overline{v}}{\partial x}+\frac{\partial \overline{w}}{\partial x}=0

ומכך נובע עבור החלק התונד: \frac{\partial u'}{\partial x}+\frac{\partial v'}{\partial x}+\frac{\partial w'}{\partial x}=0.

וממשוואות נאוויה-סטוקס בכיוון x נקבל את הקשר: \frac{\partial \overline{u}}{\partial t}+\overline{u}\frac{\partial \overline{u}}{\partial x}+\overline{v}\frac{\partial \overline{u}}{\partial y}+\overline{w}\frac{\partial \overline{u}}{\partial z}=-\frac{1}{\rho }\frac{\partial \overline{p}}{\partial x}+\frac{\mu }{\rho }\left( \frac{{{\partial }^{2}}\overline{u}}{\partial {{x}^{2}}}+\frac{{{\partial }^{2}}\overline{u}}{\partial {{y}^{2}}}+\frac{{{\partial }^{2}}\overline{u}}{\partial {{z}^{2}}} \right)+\left( \frac{\partial }{\partial x}\overline{\left( u{{'}^{2}} \right)}+\frac{\partial }{\partial y}\overline{\left( v'u' \right)}+\frac{\partial }{\partial z}\left( \overline{w'u'} \right) \right)

כאשר האיבר \left( \frac{\partial }{\partial x}\overline{\left( u{{'}^{2}} \right)}+\frac{\partial }{\partial y}\overline{\left( v'u' \right)}+\frac{\partial }{\partial z}\left( \overline{w'u'} \right) \right) נקרא איבר מאמצי ריינולדס.

באופן כללי נקבל מטריצת מאמצי ריינולדס:

\left( \begin{matrix}
 {{\sigma }_{xx}}' & {{\tau }_{xy}}' & {{\tau }_{xz}}' \\
 {{\tau }_{yx}}' & {{\sigma }_{yy}}' & {{\tau }_{yz}}' \\
 {{\tau }_{zx}}' & {{\tau }_{zy}}' & {{\sigma }_{zz}}' \\
\end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix}
 \overline{u{{'}^{2}}} & \overline{u'v'} & \overline{u'w'} \\
 \overline{u'v'} & \overline{v{{'}^{2}}} & \overline{v'w'} \\
 \overline{u'w'} & \overline{v'w'} & \overline{w{{'}^{2}}} \\
\end{matrix} \right)

בסך הכל יש לנו 6 נעלמים עם 4 משוואות (3 משוואות נאוויה-סטוקס ו-1 משוואה של משוואת הרציפות), לכן מקובל לפתור את משוואות אלו בעזרת הנחות שונות, בהתאם למקרה הנחקר.

השפעת מספר ריינולדס[עריכת קוד מקור | עריכה]

מעבר למספר ריינולדס מסוים זרימה למינרית נהיית לא יציבה. הערך של מספר ריינולדס בו מעבר זה קורה תלוי בתדירות ההפרעה, הערך ההתחלי של ההפרעה, סוג גרדיאנט הלחץ, צורת וחספוס שכבת הגבול וכו'.‏[1]

כאשר הזרימה טורבולנטית, קשה להבדיל בסקאלת המאקרו בין זרימה עם מספרי ריינולדס אחד למספר ריינולדס אחר (בתנאי שהזרימות כולן טורבולנטיות והגאומטריה דומה). אם זאת, בסקאלת המיקרו, ניתן לראות כי המערבולות יותר קטנות ככל שמספר ריינולדס גדל. תופעה זו נובעת מכך שאפילו במספרי ריינולדס גבוהים (בהן כוחות הצמיגות קטנות יחסית לכוחות האינרציה), כוחות הצמיגות גורמות למערבולות הגדולות להתפצל למערבולות קטנות יותר עד שמגיעים לגדלים שבהן הצמיגות שולטת.

מערבולות[עריכת קוד מקור | עריכה]

היווצרותן של מערבולות גדולות נוצרת בעקבות תנודתיות אקראית של התנועה הטורבולנטית בסקאלת המיקרו שמוגברת בנוכחות גרדיאנטי מהירות ממוצעת. המערבולות הגדולות הללו נוצרות מאי-יציבות פרופילי המהירות הממוצעת להפרעות בקנה מידה קטן של הזרימה הטורבולנטית. המערבולות הגדולות סופגות את האנרגיה של הזרימה הממוצעת. הן אחראיות בעיקרן על תהליכי דיפוזיה וערבוב ומעבירות טורבולנציה, תנע, ערבוליות, חום, חומר וחלקיקים בדידים. מערבולות גדולות אינן בעלות תכונות קבועות, אלא הן מתארכות ונמתחות בעקבות אינטראקציה אינרציאלית עם מערבולות שכנות. כאשר הן נמתחות ומתפתלות, ישנה היווצרות של צווארים צרים והן מתפצלות למערבולות קטנות. למערבולות הקטנות אנרגיה טורבולנטית ועוצמה ערבולית גבוהה יותר. כך, יש מעבר אנרגיה מהמערבולות הגדולות לקטנות. עם זאת, ישנו גבול שבו מערבולות עוד יותר קטנות כבר אינן יותר אנרגתיות מהמערבולות מהן נוצרו. כאשר המערבולות נהיות קטנות בהדרגתיות, גרדיאנט המהירות לאורך המערבולת מביא לדיסיפציה של אנרגיה טורבולנטית לחום בעזרת הצמיגות.‏[1]

מודל אורך הערבוב של פרנדטל[עריכת קוד מקור | עריכה]

התאוריה של פרנדטל מציגה ביטויים לu' ולv' בעזרת אורך ערבוב l וגרדיאנט מהירות {}^{d\overline{u}}\!\!\diagup\!\!{}_{dy}\; כאשר y זה המרחק הנורמלי לu שנמדד לרוב מהגבול. פרנדטל הניח, שבדומה לגז, בו מולקולה אחת עוברת מהלך חופשי ממוצע לפני שמתנגשת בשניה; כך גם חלקיק בזורם עובר מרחק l לפני שהתנע שלו משנה בסביבה החדשה. בעזרת שימוש בהשוואה הזו ובמשוואת הרציפות, הוא קיבל כי הקשר בין התנודתיות u' ו v' לאורך l הוא: v'\sim u'\sim l\frac{d\bar{u}}{dy}.

כלומר, השינוי במהירות תלוי בשינויים בממוצע בזמן של המהירות בשני נקודות במרחק l אחד מהשני בכיוון y.

המשוואה השולטת לאורך הערבוב שהוא קיבל היא: \overline{{{\tau }_{turb}}}=-\rho \overline{u'v'}=\rho \overline{{{l}^{2}}}{{\left( \frac{d\overline{u}}{dy} \right)}^{2}}

כאשר \tau גורם לפילוג המהירות להפוך ליותר אחיד.

היחס בין l למרחק לקיר y לא ניתן בפיתוח של פרנדטל. תיאודור פון קרמן הציע את הקשר: l=\kappa \frac{{du}/{dy}\;}{{{{d}^{2}}u}/{d{{y}^{2}}}\;} כאשר \kappa הוא קבוע אוניברסלי לזרימה טורבולנטית, שאינו תלוי בתנאי השפה או במספר ריינולדס.‏[4]

שכבת גבול טורבולנטית[עריכת קוד מקור | עריכה]

משוואות ריינולדס הממוצעות לשכבת גבול טורבולנטית[עריכת קוד מקור | עריכה]

למקרה דו-ממדי, בלתי דחיס ותמידי:

\overline{u}\frac{\partial \overline{u}}{\partial x}+\overline{v}\frac{\partial \overline{u}}{\partial y}=-\frac{1}{\rho }\frac{\partial \overline{p}}{\partial x}+\frac{1}{\rho }\frac{\partial }{\partial y}\left( \mu \frac{\partial \overline{u}}{\partial y}-\overline{u'v'} \right)

\frac{\partial \overline{p}}{\partial y}=-\rho \frac{\partial }{\partial y}\left( \overline{v{{'}^{2}}} \right)

\frac{\partial \overline{u}}{\partial x}+\frac{\partial \overline{v}}{\partial y}=0

לא קיים פתרון מדויק לנוסחאות אלו, אך בעזרת אנליזה ממדית ניתן לפשט את הבעיה ולמצוא דמיות בין מקרים שונים. האנליזה הממדית מבוססת על הגדרת מהירות חיכוך {{u}_{\tau }}=\sqrt{\frac{{{\tau }_{w}}}{\rho }}, מהירות מנורמלת {{u}^{+}}=\frac{u}{{{u}_{\tau }}}, ומרחק מנורמל {{y}^{+}}=\frac{y{{u}_{\tau }}}{\left( {\scriptstyle{}^{\mu }\!\!\diagup\!\!{}_{\rho }\;} \right)}=\frac{y{{u}_{\tau }}}{\nu }.

המודל הלוגריטמי של פון קרמן[עריכת קוד מקור | עריכה]

תיאודור פון קרמן הציע מודל: {{u}^{+}}=\frac{1}{\kappa }\ln \left( {{y}^{+}} \right)+C כאשר הקבועים \kappa ,C נקבעים על ידי ניסויים ונכונים עבור גאומטריות ומספרי ריינולדס קרובים לאלו שהיו בניסוי. בצינורות חלקים, קרוב לגבול \kappa (קבוע פון קרמן) נמצא להיות בקירוב 0.4, והערך C נמצא להיות 5.5.‏[1] ובצורה ממדית המשוואה היא מהצורה: u=\frac{{{u}_{\tau }}}{\kappa }\ln \left( \frac{y{{u}_{\tau }}}{\mu c} \right)

שכבות בשכבת הגבול[עריכת קוד מקור | עריכה]

שכבות בתוך שכבת הגבול

באזור הטורבולנטי של שכבת הגבול, ישנה חלוקה לתתי שכבות - אזור טורבולנטי, אזור מעבר ואזור למינרי. זאת, כיוון שממש צמוד לקיר נקבל מהירויות אפסיות ובהגדלה מספיק משמעותית, כל ערבול מורכב מקווי זרם למינריים. עבור לוח שטוח מעבר לשכבת גבול טורבולנטית מתרחשת במספרי ריינולדס של {{\operatorname{Re}}_{x}}\tilde{\ }{{10}^{5}}. תת-שכבת הגבול הלמינרית מוגבלת לאזור {{y}^{+}}=\frac{y\sqrt{\frac{{{\tau }_{w}}}{\rho }}}{\nu }<5. בתוך תת-שכבת הגבול הלמינרית, הצמיגות היא האיבר המשמעותי ביותר המכתיב את הזרימה ולכן משוואת נאוויה סטוקס המתקבלת באזור זה היא: v\frac{\partial \overline{u}}{\partial y}=v\frac{\partial \left( \frac{u}{{{u}_{\tau }}} \right)}{\partial \left( \frac{y{{u}_{\tau }}}{v} \right)}=\frac{{{\tau }_{w}}}{\rho } אזור המעבר מוגדר לפי: 5<{{y}^{+}}<30 שכבת הגבול הטורבולנטית מוגדרת כאשר: {{y}^{+}}\ge 30

קירוב חזקות[עריכת קוד מקור | עריכה]

עבור לוח שטוח שמבחוץ זורם זרם בזווית אפס מעלות ביחס ללוח, מתקבל הקשר: \frac{d{{\delta }_{2}}}{dx}=\frac{{{\tau }_{0}}}{\rho {{U}^{2}}}+\frac{1}{{{U}^{2}}}\frac{d}{dx}\int_{0}^{\delta }{\left( \overline{u{{'}^{2}}}-\overline{v{{'}^{2}}} \right)dy}

כאשר {{\tau }_{0}} זה מאמץ הגזירה, {{\delta }_{2}} זה עובי תנע שהלך לשכבת הגבול, וU זה המהירות רחוק מהלוח.

עבור לוח חלק, בלאסיוס פיתוח נוסחא אמפירית למאמץ הגזירה: {{\tau }_{0}}=0.0225\rho {{U}^{2}}{{\left( \frac{\mu }{\rho U\delta } \right)}^{{\scriptstyle{}^{1}\!\!\diagup\!\!{}_{4}\;}}}

כמו כן, חוק פילוג החזקות של פרנדטל אומר: \frac{u}{U}={{\left( \frac{y}{\delta } \right)}^{n}}

ולכן נקבל את הקשרים הבאים לעובי ההזזה, תנע, ואנרגיה בהתאמה: \frac{{{\delta }_{1}}}{\delta }=\frac{n}{n+1};\quad \frac{{{\delta }_{2}}}{\delta }=\frac{n}{(n+1)(2n+1)};\quad \frac{{{\delta }_{3}}}{\delta }=\frac{2n}{(n+1)(3n+1)}

כאשר הערך של n תלוי במספר ריינולדס.‏[1]

צינורות[עריכת קוד מקור | עריכה]

עבור ניתוח של זרימה בצנרת מקובל להשתמש בדיאגרמת מודי המאפשר מציאת מקדם החיכוך של זרימה בצינור כתלות במספר ריינולדס ובחספוס של הצינור. הדיאגרמה מראה מספר תחומים בזרימה בצינור והם:

  1. זרימה למינרית, בה מתקיים f = 64 / Re כאשר f הוא מקדם החיכוך ו-Re הוא מספר ריינולדס
  2. אזור קריטי בו הזרימה אינה מוגדרת
  3. אזור מעבר בו מקדם החיכוך מוגדר על ידי החיספוס היחסי ומספר ריינולדס
  4. אזור הזרימה הטורבולנטית המלאה בו מוראה מקדם החיכוך כקו אופקי לפי החספוס היחסי של דופן הצינור

הערות שוליים[עריכת קוד מקור | עריכה]

  1. ^ 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 Narasimhan, S. A first course in fluid mechanics. Hyderabad, India Boca Raton: Universities Press CRC Press, 2007
  2. ^ "Turbulence theory gets a bit choppy"USA Today. September 10, 2006.
  3. ^ MARSHAK, ALEX (2005). 3D radiative transfer in cloudy atmospheres; pg.76. Springer. ISBN 978-3-540-23958-1. 
  4. ^ Streeter, Victor (1998). Fluid mechanics. Boston: WCB/McGraw Hill. ISBN 0070625379.