חבורה אבלית

בתורת החבורות, חבורה אבלית היא חבורה, שבה הפעולה היא חילופית, דהיינו $\ ab=ba$ לכל שני איברים $\ a$ ו- $\ b$.

חבורות אבליות נקראות כך על שם המתמטיקאי נילס הנריק אבל, מראשוני העוסקים בתורת החבורות. באנגלית הן נקראות abelian groups, ב־a קטנה.

החבורות האבליות הן מודולים מעל חוג המספרים השלמים, ובמקרים רבים המינוח המקורי מתורת החבורות עבר בדרך זו לתורת המודולים.

דוגמאות, והקשר לטיפוסים אחרים של חבורות

הדוגמה הפשוטה ביותר לחבורה אבלית היא חבורה ציקלית. כל חבורה אבלית היא נילפוטנטית ולכן פתירה. מקור נוסף לדוגמאות הוא חבורות שאבריהן הם מספרים, ובפרט חבורות אוילר.

כל תת-חבורה או חבורת מנה של חבורה אבלית, גם היא אבלית; סכום ישר של חבורות אבליות הוא חבורה אבלית. כאשר מרחיבים חבורה אבלית בחבורה אבלית אחרת, התוצאה היא אמנם חבורה פתירה, אבל אינה חייבת להיות אבלית.

כמעט בכל מקרה, החלק החיבורי של מבנה אלגברי הוא חבורה אבלית. כך למשל, כל חוג (ובפרט שדה) הוא חבורה אבלית ביחס לפעולת החיבור, וכך גם כל מרחב וקטורי. שדה הוא גם חבורה אבלית ביחס לכפל, לאחר שמוציאים ממנו את איבר האפס.

חבורות נוצרות סופית

מבחינים בין שני סוגים של חבורות אבליות: אלו שנוצרות סופית, כלומר יש להן מספר סופי של יוצרים, ואלו שאינן נוצרות סופית. החבורות מן הטיפוס השני מעניינות בעיקר כשיש להן מבנה נוסף, למשל טופולוגיה או סדר. דוגמה לחבורה (מפותלת) שאינה נוצרת סופית: $\ \mathbb{Q}/\mathbb{Z}$, ביחס לפעולת החיבור. על מיון החבורות האבליות הנוצרות סופית, ראו להלן.

פיתול וחליקות

חבורה (אבלית או שאינה אבלית) שבה כל האיברים הם בעלי סדר סופי, נקראת חבורה מפותלת, ואם אף איבר (פרט לאיבר היחידה) אינו בעל סדר סופי, היא נקראת חסרת פיתול. תת-חבורת הפיתול, $\ t(A)$, מורכבת מכל האיברים שלהם סדר סופי, והיא תת-חבורה מפותלת מקסימלית של A. חבורת המנה $\ A/t(A)$ תמיד חסרת פיתול.

כל חבורה אבלית סופית היא מפותלת; גם להיפך: חבורה אבלית נוצרת סופית ומפותלת היא סופית. בין החבורות הציקליות, רק החבורה הציקלית האינסופית $\ \mathbb{Z}$ היא חסרת פיתול. סכום ישר של חבורות מפותלות הוא מפותל, אבל המכפלה הישרה אינה שומרת על תכונת הפיתול. לדוגמה, במכפלה הישרה $\ \prod_{n=1}^{\infty}\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}$ יש גם איברים חסרי פיתול.

חבורה היא חליקה אם לכל איבר יש שורש מכל סדר; תכונה זו מתקיימת אם ורק אם אין לחבורה תת-חבורות מקסימליות. כל תת-חבורה חליקה היא מחובר ישר, כלומר, אם A תת-חבורה חליקה של חבורה אבלית A, אז A היא סכום ישר של D ושל תת-חבורה אחרת. אם A חליקה אז גם (t(A חליקה, ולכן אפשר לפרק $\ A = t(A)\oplus (A/t(A))$ כשהמרכיב השני חליק וחסר פיתול.

חבורה אבלית בעלת בסיס (סופי או אינסופי) נקראת חבורה אבלית חופשית; אלו הן החבורות שאפשר להציג כסכום ישר של עותקים של $\ \mathbb{Z}$. החבורות החופשיות הן חסרות פיתול, אבל לא חליקות.

משפטי מבנה

לפי משפט המיון לחבורות אבליות נוצרות סופית, כל חבורה אבלית נוצרת סופית אפשר להציג, באופן יחיד, כסכום ישר של חבורה סופית וחבורה אבלית חופשית, שגם היא נוצרת סופית. אם החבורה מפותלת היא סופית (והחלק החופשי מתאפס), ואם היא חסרת פיתול - היא חופשית (והחלק הסופי מתאפס). חבורה סופית אפשר לכתוב כסכום ישר של חבורות ציקליות, שכולן מסדר חזקת-ראשוני.

למשפט זה יש הכללות גם עבור חבורות אבליות שאינן נוצרות סופית. לדוגמה:

• כל חבורה אבלית חסרת פיתול משוכנת בחבורה חופשית.
• כל חבורה אבלית עם פיתול סופי (היינו, עם חסם על סדר האיברים) היא סכום ישר של חבורות ציקליות סופיות.
• באופן כללי יותר, כל חבורה אבלית מפותלת היא סכום ישר של "חבורות פרימריות", שהן חבורות שבהן הסדר של כל איבר הוא חזקה של אותו מספר ראשוני.
• חבורה אבלית חליקה מתפרקת לסכום ישר של "החבורות החליקות היסודיות", שהן החבורות החיבוריות בשדה המספרים הרציונליים ובחוג השלמים ה-p-אדיים.