חבורה אבלית נוצרת סופית

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

בתורת החבורות, חבורה אבלית נוצרת סופית היא חבורה אבלית, שאפשר ליצור את כל אבריה באמצעות פעולת הכפל, ממספר סופי של אברים נתונים. בניגוד לחבורות שאינן אבליות, המבנה של כל החבורות האבליות הנוצרות סופית מוכר וידוע, וניתן למיין אותן באופן מלא. כל חבורה כזו מתפרקת לסכום ישר של חבורה אבלית סופית ושל מספר עותקים של ההחבורה הציקלית האינסופית. בתורן, החבורות האבליות הסופיות נבנות כסכומים ישרים של חבורות ציקליות סופיות.

[עריכה] מבוא

חבורה היא מבנה אלגברי בסיסי שמופיע במתמטיקה בהקשרים רבים ושונים, ומורכב מקבוצת איברים עם פעולה בינארית המוגדרת עליהם, ומקיימת מספר אקסיומות. עולם החבורות עשיר בדוגמאות, כגון החבורה הסימטרית $\ S_n$ , חבורת המטריצות $\ \operatorname{GL}_n(F)$ מעל שדה F, או החבורה של המספרים הרציונליים ביחס לחיבור. שתי הדוגמאות הראשונות אינן אבלית, כלומר, הכפל אינו מקיים בהן את האקסיומה $\ ab = ba$ ; חבורות כאלה יכולות להיות מסובכות מאד. הדוגמה השלישית, על-אף שהיא אבלית, אינה נוצרת סופית (כל תת-חבורה נוצרת סופית שלה היא ציקלית).

אחד מהתחומים בהם עוסקת האלגברה המופשטת הוא סיווג של כל החבורות הקיימות על פי תכונותיהן. משפט המיון לחבורות אבליות נוצרות סופית מספק סיווג שכזה עבור החבורות האבליות שיש להן תת-קבוצה סופית של איברים, שממנה אפשר ליצור, על ידי פעולת החבורה, את כל איברי החבורה.

המשפט מראה כי כל חבורה שמקיימת את שתי הדרישות הללו זהה, עד כדי החלפת הסימון בו משתמשים כדי לתאר אותה, לחבורה שמורכבת מסכום של חבורות ציקליות. מכיוון שחבורות ציקליות פשוטות מאוד לתיאור, הדבר מסייע להבנה של מבנה החבורה שעליה מופעל המשפט, וכן מקל על הבדיקה האם שתי חבורות שהוגדרו בדרכים שונות הן בעלות אותו המבנה - פשוט על ידי השוואת ההצגה שלהן כמכפלות של חבורות ציקליות.

[עריכה] פיתול

בדרך-כלל מסמנים את הפעולה בחבורה אבלית בסימן החיבור, ואת האיבר הנייטרלי בסימן 0. בכל חבורה אבלית A אפשר לאסוף את האברים $\ a \in A$ שעבורם קיים $\ 0 \neq n\in \mathbb{Z}$ כך ש- $\ na = 0$ . אלו האיברים המפותלים של החבורה, וביחד הם מהווים תת-חבורה, $\ A_{\operatorname{tor}}$ . אם יש כאלה (פרט ל- 0), אומרים ש"יש לחבורה פיתול", ואם כל האיברים הם כאלה - החבורה מפותלת. חבורה חסרת פיתול היא חבורה ללא איברים מפותלים. חבורת המנה $\ A/A_{\operatorname{tor}}$ היא תמיד חסרת פיתול.

כל חבורה אבלית סופית היא מפותלת. בין החבורות הציקליות, רק החבורה הציקלית האינסופית היא חסרת פיתול, ואכן, חבורה אבלית נוצרת סופית ללא פיתול מוכרחה להיות איזומורפית לסכום ישר של מספר סופי של עותקים של חבורה זו. מאידך, חבורה אבלית נוצרת סופית ומפותלת היא סופית, ומוכרחה להיות איזומורפית לסכום ישר של חבורות ציקליות סופיות.

[עריכה] הדרגה

קבוצה שאפשר ליצור ממנה את כל אברי החבורה נקראת קבוצת יוצרים. גודלה של הקבוצה הקטנה ביותר היוצרת את החבורה הוא הדרגה של החבורה (לחבורה יש דרגה סופית אם ורק אם היא נוצרת סופית). למשל, דרגתה של החבורה $\ \mathbb{Z}^5$ היא 5, ואילו הדרגה של $\ \mathbb{Z}/14\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/20\mathbb{Z}$ היא 2. כל חבורה אבלית מדרגה r מהווה חבורת מנה של החבורה האבלית החופשית מדרגה r, $\ \mathbb{Z}^r$ .

[עריכה] משפט המיון

משפט המיון של החבורות האבליות הנוצרות סופית קובע שכל חבורה כזו איזומורפית לחבורה יחידה מהצורה

$\ \mathbb{Z}^r\oplus\mathbb{Z}_{p_1^{k_1}}\oplus\dots\oplus\mathbb{Z}_{p_n^{k_n}}$ ,

כאשר $\ r\ge 0$ והמספרים $\ p_1^{k_1},\dots ,p_n^{k_n}$ הם חזקות (לא בהכרח שונות זו מזו) של מספרים ראשוניים.

צורת הצגה זו נקראת "צורת המחלקים האלמנטריים", והמספרים $\ p_1^{k_1},\dots,p_n^{k_n}$ נקראים "המחלקים האלמנטריים". דרך הצגה יחידה נוספת היא באמצעות "הגורמים האינווריאנטיים": בצורת הצגה זו, $\ G$ איזומורפית לסכום הישר הבא:

$\ \mathbb{Z}^r\oplus\mathbb{Z}_{m_1}\oplus\dots\oplus\mathbb{Z}_{m_k}$

כאשר מתקיים יחס החלוקה הבא: $\ m_1|m_2|\dots |m_k$ . גם צורת הצגה זו היא יחידה.

מהמשפט ניתן לראות כי כל חבורה אבלית נוצרת סופית $\ G$ מורכבת מסכום ישר של שני חלקים: החלק האחד הוא הסכום $\ \mathbb{Z}_{m_1}\oplus\dots\oplus\mathbb{Z}_{m_k}$ שמייצג את תת חבורת הפיתול של $\ G$ , כלומר את תת-החבורה הנוצרת על ידי האיברים מסדר סופי.

החלק השני בסכום הוא $\ \mathbb{Z}^r$ . זוהי חבורה אבלית חופשית מדרגה סופית $\ r$ .

[עריכה] דוגמאות

כל חבורה אבלית סופית, נוצרת סופית (למשל, בידי קבוצת כל האיברים שלה). מכיוון שהמרכיב בפירוק לעיל הוא אינסופי כאשר , נובע שכל חבורה אבלית סופית איזומורפית לחבורה מהצורה . דוגמאות ספציפיות:
- קיימת חבורה אבלית יחידה בת 6 איברים. בהצגה באמצעות מחלקים אלמנטריים צורתה היא $\ \mathbb{Z}_2\oplus\mathbb{Z}_3$ ואילו בהצגה באמצעות גורמים אינוריאנטיים צורתה היא $\ \mathbb{Z}_6$ . לא קשה להשתכנע ששתי ההצגות איזומורפיות.
- כל חבורה אבלית סופית בת 90 איברים איזומורפית לאחת מהחבורות הבאות:
  - בהצגה באמצעות מחלקים אלמנטריים: $\ \mathbb{Z}_2\oplus\mathbb{Z}_{3^2}\oplus\mathbb{Z}_5 ,\mathbb{Z}_2\oplus\mathbb{Z}_3\oplus\mathbb{Z}_3\oplus\mathbb{Z}_5$
  - בהצגה באמצעות גורמים אינוריאנטים: $\ \mathbb{Z}_{3}\oplus\mathbb{Z}_{30},\mathbb{Z}_{90}$
כל חבורה אבלית חופשית נוצרת סופית איזומורפית ל- $\ \mathbb{Z}^r$ עבור $\ r>0$ מסוים שהוא גודל קבוצת היוצרים שלה. קל לראות את האיזומורפיזם במקרה זה: כל אחד מיוצרי החבורה עובר ליוצר של אחד מעותקי $\ \mathbb{Z}$ .
אוסף הנקודות הרציונליות על עקום אליפטי עם פעולה מתאימה מהווה, על פי משפט מורדל-וייל, חבורה אבלית נוצרת סופית ולכן המשפט חל עליו. עבור חבורה זו יש חשיבות גדולה לדרגה של החלק החופשי, כלומר ל- $\ r$ שבחלק $\ \mathbb{Z}^r$ של החבורה. השערה מפורסמת בתורת המספרים בשם השערת בירץ' וסווינרטון-דייר היא ש- $\ r$ שווה לסדר האפס של פונקציה מרוכבת מסוימת המותאמת לעקום, בנקודה $\ s=1$ .