חבורה אלגברית

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
Nuvola apps edu mathematics blue-p.svg

בערך זה
נעשה שימוש
בסימנים מוסכמים
מתחום המתמטיקה.
להבהרת הסימנים
ראו סימון מתמטי.

חבורה אלגברית G היא אובייקט שהוא בו זמנית גם חבורה וגם יריעה אלגברית, כך שההעתקות

  • הכפל: m : G \times G \to G , המוגדרת על ידי (g,h) \mapsto gh,
  • וההפכי: i : G \to G, המוגדרת על ידי g \mapsto g^{-1},

הן מורפיזמים (העתקות רגולריות) של יריעות אלגבריות.

יריעות אלגבריות מצוידות בטופולוגיית זריצקי, ההופכת כל חבורה אלגברית לחבורה טופולוגית.אולם טופולוגיה זו לא מבטאה את המיבנה הגאומטרי של החבורה. לעומת זאת אם על השדה k מעליו מוגדרת החבורה נתונה טופולוגיה (למשל כאשר k=\R,\C) אז אנו מקבלים טופולוגיה עדינה יתר על החבורה G (או ליתר דיוק על קבוצת ה k-נקודות שלה G(k)). אם המציין של k הוא 0, אז ניתן להראות ש G יריעה חלקה, ולכן, כאשר k=\R,\C, על G(k) יש מבנה של חבורות לי.

דוגמאות[עריכת קוד מקור | עריכה]

כל שיכון של חבורה אלגברית בחבורה \mathbf{GL}(n,k) נקרא "הצגה לינארית" של החבורה. חבורה אלגברית שקיימת לה הצגה נאמנה כתת-חבורה סגורה של \mathbf{GL}(n,k) נקראת חבורה אלגברית לינארית או "חבורה אלגברית אפינית".

דוגמה מפורטת[עריכת קוד מקור | עריכה]

נראה דוגמה מפורטת של חבורה אלגברית: G = \mathbf{GL}(2,\mathbb{C}) = \left\{ A \in \mathrm{M}_2(\mathbb{C}) \mid \det A \ne 0 \right\}.

  • זו חבורה עם הפעולה של כפל מטריצות.
  • זו יריעה אלגברית, שניתן להציגה כיריעה הסגורה \left\{ (a , b , c , d , t) \mid (ad-bc)t=1 \right\} כאשר אנו מזהים כל מטריצה כ-A = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) ואז \det A = ad - bc; קיומו של מספר t כך ש-(\det A)t = (ad-bc)t=1 שקול לכך ש-\det A \ne 0. הפונקציות הרגולריות הבסיסיות על יריעה זו הן X_{ij} המחזירות את הקואורדינטה בשורה ה-i ובעמודה ה-j במטריצה A, וכן הפונקציה \frac{1}{\det A} = ( X_{11} X_{22} - X_{12} X_{21} )^{-1} (למעשה זו הפונקציה שמחזירה את ה"קואורדינטה" t).
  • יהיו A = \left( \begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix} \right) ו-B= \left( \begin{matrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{matrix} \right), אז למשל X_{11}(A \cdot B) = a_{11} b_{11} + a_{12} b_{21} = X_{11}(A)X_{11}(B) + X_{12}(A) X_{21}(B) ולכן כפל מטריצות הפיכות היא העתקה רגולרית.
  • \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right)^{-1} = \frac{1}{ad-bc} \left( \begin{matrix} d & -b \\ -c & a \end{matrix} \right) וקל לראות שגם זו פונקציה רגולרית (השבר שכופל את המטריצה שווה לאחד חלקי הדטרמיננטה ולכן הוא פונקציה רגולרית!), ומכאן שגם פונקציית ההפכי רגולרית.

בסך בכל נובע ש-G היא חבורה שהיא גם יריעה אלגברית כך שפעולות הכפל וההפכי הן פונקציות רגולריות ולכן היא חבורה אלגברית.

קשרים בין חבורות[עריכת קוד מקור | עריכה]

תת-חבורה אלגברית H של חבורה אלגברית G היא תת-חבורה מופשטת, שמהווה גם תת-יריעה של G והיא סגורה בטופולוגיית זריצקי. ניתן להגדיר גם את המנה G/H. אם H היא תת-חבורה אלגברית של G אז למרחב הקוסטים G/H קיים מבנה יחיד של יריעה קווזי-פרויקטיבית שעבורו הפעולה של G על G/H היא רגולרית (למעשה, ניתן לזהות את H, כמייצב של וקטור במרחב פרויקטיבי שעליו פועלת G). אם G היא אפינית ו H תת-חבורה נורמלית אז המנה G/H היא חבורת מנה אפינית - כלומר: חבורה אלגברית ויריעה אלגברית אפינית.

סוגים של חבורות[עריכת קוד מקור | עריכה]

חבורה אלגברית G נקראת "אי-פריקה" אם כיריעה היא יריעה אי-פריקה בטופולוגיית זריצקי. עבור חבורה אלגברית ניתן להראות ש-G היא אי-פריקה אם ורק אם היא קשירהטופולוגיית זריצקי). לכן עבור חבורות אלגבריות בדרך כלל משתמשים במינוחים חבורות קשירות וחבורות אי-פריקות לחלופין. לעומת זאת, יש מתמטיקאים שמשתמשים במונח "אי-פריקות" ביחס לטופולוגיית זריצקי ואילו במונח "קשירות" ביחס לטופולוגיה המוגדרת על ידי הטופולוגיה על השדה k (בעיקר במקרים k=\R,\C). ‏[1]

חבורה נקראת אפינית, אם היא אפינית כיריעה אלגברית. ניותן להראות כי במקרה זה היא ניתנת לשיכון (כתת-חבורה) ב \mathbf{GL}_N (עבור איזה שהוא N טבעי). לכן קראים לחבורות כאילו גם חבורות לינאריות.

חבורה אלגברית אפינית G היא בפרט יריעה אלגברית אפינית שהיא מרחב טופולוגי נתרי ולכן יש לה מספר סופי של מרכיבים אי-פריקים. הרכיב האי-פריק של G המכיל את איבר היחידה מסומן G^0 ונקרא identity component. הרכיב הקשיר של איבר היחידה G^0 הוא תת-חבורה נורמלית סגורה של G.

חבורה לינאריות G נקראת פתירה אם קיימת סדרה יורדת של תת-חבורות נורמליות ב-G כך שהמנות העוקבות הן חבורות קומוטטיביות (בדומה למושג המקביל בתורת החבורות).

הרדיקל (הפתיר) של חבורה לינארית היא הרכיב הקשיר של איבר היחידה של תת-החבורה הנורמלית הפתירה המקסימלית שלה. חבורה לינארית קשירה נקראת פשוטה-למחצה אם הרדיקל הפתיר שלה טריביאלי.

הרדיקל האוניפוטנטי של חבורה לינארית הוא תת-החבורה האוניפוטנטית הגדולה ביותר של הרדיקל הפתיר. חבורה לינארית שהרדיקל האוניפוטנטי שלה טריוויאלי נקראת חבורה רדוקטיבית. כל חבורה פשוטה-למחצה היא רדוקטיבית.

חבורה לינארית קשירה G נקראת פשוטה אם היא לא קומוטטיבית וגם אין לה תת-חבורות נורמליות קשירות סגורות לא טריוויאליות. היא נקראת כמעט פשוטה אם יש לה מרכז סופי Z והחבורה G/Z היא פשוטה.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

סוגים של חבורות אלגבריות[עריכת קוד מקור | עריכה]

מושגים קשורים[עריכת קוד מקור | עריכה]

לקריאה נוספת[עריכת קוד מקור | עריכה]

חבורות לינאריות[עריכת קוד מקור | עריכה]

יריעות אבליות[עריכת קוד מקור | עריכה]

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]

הערות שוליים[עריכת קוד מקור | עריכה]

  1. ^ אם k=\C אז שני מושגי הקשירות שקולים, אולם המצב שונה במקרה שk=\R למשל החבורה האלגברית \mathbf{GL}_2 קשירה אולם חבורת הנקודות הממשיות שלה \mathbf{GL}_2(\R) איננה קשירה.