חבורה חופשית

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

חבורה חופשית היא חבורה שקבוצת היוצרים שלה \ X אינה מקיימת אף יחס. בחבורה כזו, כל איבר הוא מילה סופית ב'שפה' שהאותיות שלה הן הסימנים \ x, x^{-1} עבור \ x\in X, ואין בה שתי אותיות רצופות מן הצורה \ xx^{-1} או \ x^{-1}x. הכפל בחבורה מוגדר על ידי הדבקת שתי המלים זו לזו, ומחיקת הצירופים האסורים אם יש כאלה. את החבורה המתקבלת מבניה זו מסמנים ב- \ \langle X\rangle. ראו גם מונואיד חופשי.

בחבורה חופשית קל לערוך חישובים, משום שכל איבר מוצג על ידי מילה אחת ויחידה. בפרט, בחבורה כזו יש פתרון פשוט לבעיית המילה ובעיית הצמידות.

אם שתי קבוצות X ו- Y הן בעלות אותה עוצמה, אז החבורות \ \langle X\rangle ו- \ \langle Y\rangle איזומורפיות זו לזו. בפרט, את החבורה הנוצרת על ידי קבוצה (כלשהי) בגודל n מקובל לסמן ב- \ \mathbb{F}_n. מספר היוצרים של חבורה חופשית מוגדר היטב (כלומר, בחבורה חופשית לא יכולות להיות שתי קבוצות יוצרים חופשיות בגודל שונה), והוא נקרא הדרגה של החבורה. את הדרגה של חבורה חופשית \ F מסמנים ב- \ rank(F). כך למשל \ rank(\mathbb{F}_n)=n.

הראשון להגדיר חבורה חופשית (נוצרת סופית) היה Walther von Dyck, ב-1882, שביקש לתת תאור אלגברי מדוייק למושג הפעולה הגאומטרית של חבורה על המרחב. הוא הראה שכל חבורה נוצרת סופית היא מנה של חבורה חופשית. המשפט המשמעותי הראשון בתחום הנקרא היום תורת החבורות הקומבינטורית הוא משפט נילסן-שרייר, הקובע שתת-חבורה של חבורה חופשית גם היא חבורה חופשית. אולי במפתיע, הדרגה של תת-חבורה מאינדקס סופי תמיד גדולה מזו של החבורה: אם F חופשית ו-\ H \leq F תת-חבורה מאינדקס סופי, אז \ [F:H] = \frac{rank(H)-1}{rank(F)-1}. אם F חבורה חופשית נוצרת סופית, אז לכל אנדומורפיזם \ \sigma : F \rightarrow F, תת-החבורה הקבועה \ F^{\sigma} = \{x \in F : \sigma(x) = x\} היא נוצרת סופית‏[1]. אם \ \sigma אוטומורפיזם, הדרגה של \ F^{\sigma} אינה עולה על זו של F‏[2].

חבורה חופשית היא אובייקט חופשי בקטגוריה של החבורות. בניסוח אחר, חבורה חופשית F עם קבוצת יוצרים X מקיימת את התכונה הבאה, הנקראת אוניברסליות: לכל חבורה \ G ופונקציה \ f:X\rightarrow G קיים הומומורפיזם יחיד \ \psi :F \rightarrow G המקיים \psi\circ\phi=f, כאשר \ \phi: X \rightarrow F הוא השיכון של X ב- F. בפרט נובע מזה שעבור כל חבורה G הנוצרת על ידי הקבוצה X, קיים אפימורפיזם \ \langle X\rangle \rightarrow G, ובמלים אחרות כל חבורה אפשר להציג כחבורת מנה של חבורה חופשית. אם \ G \cong F/N כאשר \ F=\langle X\rangle חופשית, אז \ N=\langle R \rangle חופשית (לפי משפט שרייר), והיוצרים שלה, אברי R, נקראים יחסים של G. המנה \ \langle X\rangle/\langle R\rangle מסומנת ב- \ \langle X|R\rangle ונקראת הצגה של G על ידי יוצרים ויחסים (זוהי presentation, להבדיל מ-representation).

חבורת האוטומורפיזמים[עריכת קוד מקור | עריכה]

חבורת האוטומורפיזמים של חבורה חופשית נוצרת על ידי פעולות טבעיות על היוצרים, מן הצורה \ x_i \mapsto x_i x_j, והיחסים בין היוצרים האלה מוכרים וידועים. מחבורת האוטומורפיזמים החיצונית \ \operatorname{Out}(\mathbb F_n) = \operatorname{Aut}(\mathbb{F}_n)/\operatorname{Inn}(\mathbb{F}_n) יש הטלה טבעית על החבורה הלינארית \ \operatorname{GL}_n(\mathbb{Z}), המוגדרת על ידי ההטלה \ \mathbb{F}_n \rightarrow \mathbb{Z}^n. כאשר n=2, חבורת האוטומורפיזמים החיצונית איזומורפית ל- \ \operatorname{GL}_2(\mathbb{Z}) (Nielsen, 1917).

תורה מסדר ראשון[עריכת קוד מקור | עריכה]

ב-1945 שיער אלפרד טרסקי שלכל החבורות החופשיות עם יותר מיוצר אחד יש אותה תורה מסדר ראשון. כלומר בדיוק אותם משפטים מסדר ראשון נכונים בכל חבורה חופשית מלבד \mathbb Z (שהיא החבורה החופשית היחידה שהיא אבלית). ההשערה הוכחה באופן בלתי תלוי על ידי צליל סלע ועל ידי Kharlampovich ו-Myasnikov, שבנוסף הוכיחו שתורה זו כריעה.

הערות שוליים[עריכת קוד מקור | עריכה]

  1. ^ Goldstein-Turner 1986
  2. ^ Bestvina-Handel 1992