חבורה מושלמת

בתורת החבורות, חבורה מושלמת היא חבורה G השווה לתת-חבורת הקומוטטורים של עצמה, כלומר, $\ G'=G$. במלים אחרות, אלו הן החבורות שאין להן אף מנה אבלית לא טריוויאלית. לדוגמה, כל חבורה פשוטה לא אבלית היא מושלמת. מאידך, יש חבורות מושלמות שאינן פשוטות, כמו $\ \operatorname{SL}_2(\mathbb{F}_5)$.

כל מנה של חבורה מושלמת היא מושלמת.

הקשר להרחבות אוניברסליות

הרחבה מרכזית של חבורה G היא חבורה $\ \hat{G}$ עם אפימורפיזם $\ \hat{G}\rightarrow G$ שהגרעין שלו מוכל במרכז של G. הרחבה מהצורה $\ \hat{G} = G \times A$ (עם ההטלה על הרכיב הראשון), כאשר A אבלית, היא טריוויאלית. הרחבה מרכזית $\ U \rightarrow G$היא אוניברסלית אם היא מתפצלת דרך כל הרחבה מרכזית אחרת באופן יחיד, כלומר: לכל הרחבה מרכזית $\ \hat{G} \rightarrow G$ יש הומומורפיזם $\ U \rightarrow \hat{G}$ ההופך את הדיאגרמה המתאימה לקומוטטיבית; במובן מסוים, הרחבה אוניברסלית היא הרחבה גדולה ביותר, למעט תוספות טריוויאליות שכביכול אינן רלוונטיות (את ההרחבות המרכזיות האוניברסליות התחיל ללמוד ישי שור ב-1904).

מתברר שלחבורה יש הרחבה מרכזית אוניברסלית אם ורק אם היא מושלמת. יתרה מזו, הרחבה מרכזית U של G היא אוניברסלית אם ורק אם U מושלמת בעצמה, ואין לה הרחבות מרכזיות לא טריוויאליות.

את ההרחבה המרכזית האוניברסלית של חבורה מושלמת אפשר לחשב באופן ישיר, מן ההצגה שלה באמצעות יוצרים ויחסים: אם $\ G = F/R$ כאשר F חבורה חופשית ו-R חבורת היחסים, אז ההרחבה המרכזית האוניברסלית היא $\ [F,F]/[F,R]$ (ההטלה $\ [F,F]/[F,R]\rightarrow F/R$ היא על משום ש-$\ F'R=F$, שהרי $\,F/R$ מושלמת). הגרעין של ההטלה הזו הוא $\ (R\cap [F,F])/[R,F]$ - כופל שור של G. הכופל אינו תלוי בהצגה, משום שהוא איזומורפי לחבורת ההומולוגיה השנייה $\ \operatorname{H}_2(G,\mathbb{Z})$.

בין הדוגמאות החשובות לבניה הזו נמצא הפונקטור $\ K_2$: לכל חוג R, חבורת המטריצות האלמנטריות $\ E(R)$ היא מושלמת, וההרחבה האוניברסלית שלה היא חבורת סטיינברג של החוג, $\ \operatorname{St}(R)$. הגרעין של ההטלה מן החבורה השנייה אל הראשונה הוא $\ \operatorname{K}_2(R)$.