חבורה מושלמת

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

בתורת החבורות, חבורה מושלמת היא חבורה G השווה לתת-חבורת הקומוטטורים של עצמה, כלומר, \ G'=G. במלים אחרות, אלו הן החבורות שאין להן אף מנה אבלית לא טריוויאלית. לדוגמה, כל חבורה פשוטה לא אבלית היא מושלמת. מאידך, יש חבורות מושלמות שאינן פשוטות, כמו \ \operatorname{SL}_2(\mathbb{F}_5).

כל מנה של חבורה מושלמת היא מושלמת.

הקשר להרחבות אוניברסליות[עריכת קוד מקור | עריכה]

הרחבה מרכזית של חבורה G היא חבורה \ \hat{G} עם אפימורפיזם \ \hat{G}\rightarrow G שהגרעין שלו מוכל במרכז של G. הרחבה מהצורה \ \hat{G} = G \times A (עם ההטלה על הרכיב הראשון), כאשר A אבלית, היא טריוויאלית. הרחבה מרכזית \ U \rightarrow Gהיא אוניברסלית אם היא מתפצלת דרך כל הרחבה מרכזית אחרת באופן יחיד, כלומר: לכל הרחבה מרכזית \ \hat{G} \rightarrow G יש הומומורפיזם \ U \rightarrow \hat{G} ההופך את הדיאגרמה המתאימה לקומוטטיבית; במובן מסוים, הרחבה אוניברסלית היא הרחבה גדולה ביותר, למעט תוספות טריוויאליות שכביכול אינן רלוונטיות (את ההרחבות המרכזיות האוניברסליות התחיל ללמוד ישי שור ב-1904).

מתברר שלחבורה יש הרחבה מרכזית אוניברסלית אם ורק אם היא מושלמת. יתרה מזו, הרחבה מרכזית U של G היא אוניברסלית אם ורק אם U מושלמת בעצמה, ואין לה הרחבות מרכזיות לא טריוויאליות.

את ההרחבה המרכזית האוניברסלית של חבורה מושלמת אפשר לחשב באופן ישיר, מן ההצגה שלה באמצעות יוצרים ויחסים: אם \ G = F/R כאשר F חבורה חופשית ו-R חבורת היחסים, אז ההרחבה המרכזית האוניברסלית היא \ [F,F]/[F,R] (ההטלה \ [F,F]/[F,R]\rightarrow F/R היא על משום ש-\ F'R=F, שהרי \,F/R מושלמת). הגרעין של ההטלה הזו הוא \ (R\cap [F,F])/[R,F] - כופל שור של G. הכופל אינו תלוי בהצגה, משום שהוא איזומורפי לחבורת ההומולוגיה השנייה \ \operatorname{H}_2(G,\mathbb{Z}).

בין הדוגמאות החשובות לבניה הזו נמצא הפונקטור \ K_2: לכל חוג R, חבורת המטריצות האלמנטריות \ E(R) היא מושלמת, וההרחבה האוניברסלית שלה היא חבורת סטיינברג של החוג, \ \operatorname{St}(R). הגרעין של ההטלה מן החבורה השנייה אל הראשונה הוא \ \operatorname{K}_2(R).