חבורות ההומוטופיה

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

בטופולוגיה אלגברית ניתן לבנות לכל מרחב טופולוגי מנוקד (כלומר, עם בחירה של נקודת בסיס) סדרה של חבורות, המכונות חבורות ההומוטופיה, ומסומנות \pi_n(X,a). חשיבותן בכך שהן מאפיינות (באופן חלקי) את טיפוס ההומוטופיה של המרחב, ומכאן שמן. בפועל, באופן כללי לא ידועות חבורות ההומוטופיה גם למרחבים פשוטים, כמו ספירה.

הגדרה[עריכת קוד מקור | עריכה]

יהי  (X,a) מרחב טופולוגי מנוקד. לכל n \geq 0 מגדירים את חבורת ההומוטופיה ה-n, המסומנת \pi_n(X,a), להיות קבוצת העתקות S^n \to X (כאשר S^n היא הספירה ה-n ממדית), עד כדי הומוטופיה ביחס לנקודה. באופן שקול, ניתן להגדיר את איבריה בתור קבוצת ההעתקות [0,1]^n \to X מההיפרקובייה עד כדי הומוטופיה ביחס לשפת הקוביה \partial [0,1]^n. ההגדרה השנייה נוחה יותר (כך למשל מוגדרת החבורה היסודית \pi_1(X,a)). ההגדרות שקולות, שכן אם מזהים את כל השפה של הקוביה לנקודה אחת, מקבלים את הספירה.

עבור i \geq 1 קבוצה זו מהווה חבורה עם פעולת השרשור, שמוגדרת בתור הדבקת שתי קוביות על אחת הצלעות ב"קצב כפול", בדומה להגדרת הפעולה בחבורה היסודית.

חבורות ההמוטופיה מהוות פונקטור בין מרחבים טופולוגיים לחבורות. זהו אינווריאנט עד כדי שקילות הומוטופית (לכל מרחבים שקולים הומוטופית אותן חבורות הומוטופיה).

מבנה[עריכת קוד מקור | עריכה]

בעזרת חבורות ההומוטופיה ניתן להבין את התכונות ההומוטופיה של המרחב. בפני עצמן הן אינן מהוות אינווריאנט חזק מספיק; בהמשך נראה תוצאה חזקה בדבר ההומוטופיה של המרחב התלויה בכל חבורות ההומוטופיה.

ראשית, נשים לב שעל \pi_0(X) לא ניתן להגדיר מבנה טבעי של חבורה. קבוצה זו מזוהה באופן טבעי עם מרכיבי הקשירות המסילתית של המרחב.

כאמור לעיל, לכל n \geq 1 על \pi_n(X) יש מבנה טבעי של חבורה. עבור n \geq 2 חבורה זו היא אבלית. כדי להוכיח זאת, יש להביט בהעתקות f,g : [0,1]^n \to X, לכווץ אותן מעט, לסובב ואז להרחיב חזרה (מה שלא אפשרי במקרה החד ממדי).

הבחנה חשובה נוספת היא שבחבורת הומוטופיה כללית, בניגוד לחבורה היסודית, יש משמעות לנקודת הבסיס, גם במרחבים קשירים מסילתית (על אף שהן איזומורפיות). במרחב פשוט קשר אפשר שלא להתייחס לנקודת הבסיס לכל חבורות ההומוטופיה.

כאמור לעיל, חבורת הומוטופיה ספציפית נותנת מידע חלקי בלבד על המרחב. המשפט הבא הוא משפט חזק מאוד הנותן מידע מלא:

משפט וייטהד(אנ'): אם f: X \to Y העתקה בין מרחבי CW, כך שלכל n ההעתקה f_* : \pi_n(X,a) \to \pi_n(Y,f(a)) הנתונה על ידי f_*(\phi) = f \circ \phi היא איזומורפיזם חבורות, אז f היא שקילות הומוטופית בין המרחבים.

הדרישה שתהיה פונקציה f אחת שמקיימת את תנאי המשפט היא הכרחית - גם אם כל החבורות איזומורפיות על ידי העתקות שונות, לא מובטחת שקילות הומוטופית.

מרחב אספרי[עריכת קוד מקור | עריכה]

מרחב אספרי (Aspherical space) הוא מרחב שכל חבורות ההומוטפיה \pi_n(X,a) טריוויאליות עבור n \geq 2. למשל, טורוס הוא מרחב אספרי. מינוח כללי יותר הוא מרחב אילנברג-מקליין - זוה מרחב בו יש רק חבורת הומוטופיה אחת לא טריוויאלית.

מרחב CW הוא אספרי אם ורק אם מרחב כיסוי האוניברסלי שלו הוא מרחב כוויץ.

חישוב החבורות[עריכת קוד מקור | עריכה]

חישוב חבורות ההומוטופיה בפועל הוא קשה, וגם חבורות ממד גבוה של מרחבים שנראים פשוטים אינן ידועות.

בניגוד לחבורה היסודית, עבורה יש שיטות חישוב שונות (הבולטת היא משפט ואן קמפן), או חבורות ההומולוגיה אותן ניתן לחשב אלגוריתמית במקרים רבים, אין שיטה כללית לחשב את חבורות ההומוטופיה בשיטת רדוקציה.

בכל זאת, במהלך שנות השמונים פותחו שיטות שונות לחישוב חבורות ההומוטופיה. Graham Ellis ו- Roman Mikhailov הציגו שיטה תיאורתית לחשב את החבורות למרחבים מסוימים (לפרטים, ראו בקריאה נוספת).

משפט הורוויץ(אנ') מקשר בין חבורות ההומולוגיה לחבורות ההומוטופיה במקרה של מרחבים n-קשירים.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

לקריאה נוספת[עריכת קוד מקור | עריכה]

* A colimit of classifying spaces,Graham Ellis, Roman Mikhailov