חבורות ההומוטופיה

בטופולוגיה אלגברית ניתן לבנות לכל מרחב טופולוגי מנוקד (כלומר, עם בחירה של נקודת בסיס) סדרה של חבורות, המכונות חבורות ההומוטופיה. חשיבותן בכך שהן מאפיינות (באופן חלקי) את טיפוס ההומוטופיה של המרחב, ומכאן שמן.

הגדרה פורמלית וסימונים

אם $\ X$ הוא מרחב טופולוגי מנוקד, אז לכל $i \geq 0$ מגדירים את $\ \pi_i(X)$ להיות קבוצת מחלקות ההומוטופיה של העתקות $S^n \to X$. עבור $i \geq 1$ קבוצה זו מהווה חבורה עם פעולה טבעית, ועבור $i \geq 2$ חבורה זו היא אף חבורה אבלית.

החבורה הראשונה $\ \pi_1(X)$ מכונה גם החבורה היסודית של המרחב, והיא מתוארת בהרחבה במאמר נפרד.

כדאי לשים לב ש- $\ \pi_0(X)$, על-אף הדמיון בסימון ובהגדרה, אינה חבורה. כקבוצה היא מתלכדת באופן טבעי עם קבוצת רכיבי הקשירות המסילתיים של X.

ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.