חבורת גלואה האבסולוטית

במתמטיקה, חבורת גלואה האבסולוטית של שדה $\ K$ היא חבורת גלואה של הסגור הספרבילי $\ K^{\operatorname{sep}}$ מעל $\ K$ (הסגור הספרבילי שווה לסגור האלגברי עבור שדות ממאפיין אפס). חבורת גלואה האבסולוטית של המספרים הרציונלים (ובאופן כללי יותר, של שדות מספרים) היא אחד האובייקטים המרכזיים הנחקרים במסגרת תורת המספרים האלגברית.

דוגמאות

באופן כללי, חבורת גלואה האבסולוטיות הן קשות לחישוב ואפילו על חבורת גלואה האבסולוטית של הרציונלים מעט מאוד ידוע. עם זאת, יש מקרים שבהם ניתן לחשב את חבורת גלואה האבסולוטיות:

• חבורת גלואה האבסולוטית של שדה סגור ספרבילית היא טריביאלית.

• חבורת גלואה האבסולוטית של שדה המספרים הממשיים היא חבורה ציקלית מסדר 2 (הסגור הספרבילי הוא שדה המספרים המרוכבים ואיברי החבורה הם אוטומורפיזם הזהות ואוטומורפיזם ההצמדה).

• חבורת גלואה האבסולוטית של שדה סופי $\ \mathbb{F}_q$ היא ההשלמה הפרו-סופית של השלמים, כלומר $\ \widehat{\mathbb{Z}}$.

• חבורת גלואה האבסולוטית של שדה פונקציות $\ C(x)$, כאשר C סגור אלגברית, היא (פרו-סופית) חופשית מדרגה השווה לעוצמה של C.

תכונות

• חבורת גלואה האבסולוטית היא חבורה פרו-סופית.

• אין לחבורה איברים מסדר סופי, פרט אולי לאיברים מסדר 2 (משפט של Artin-Schreier משנות ה-20 של המאה ה-20).

• משפט קרונקר-וובר מתאר את המנה האבלית הגדולה ביותר של חבורת גלואה האבסולוטית של שדה מספרים.

• אם יריעה אלגברית V מוגדרת מעל שדה k, אז חבורת גלואה האבסולוטית של k פועלת על V ולכן על כל חבורות הקוהומולוגיה של V. בהצגות הללו טמון מידע על תכונות אריתמטיות של V.

בעיות מרכזיות

• בעית ההיפוך של תורת גלואה שואלת האם כל חבורה סופית היא חבורת גלואה של הרחבה סופית של הרציונלים. ניסוח שקול הוא האם כל חבורה סופית היא מנה של חבורת גלואה האבסולוטית של הרציונלים.

• תוכנית לנגלנדס מקשרת בין הצגות n-ממדיות של חבורת גלואה האבסולוטית של שדה מספרים להצגות אוטומורפיות [1] של החבורה $\ \operatorname{GL}_n$.