חבורת גלואה האבסולוטית

במתמטיקה, חבורת גלואה האבסולוטית של שדה $\ K$ היא חבורת גלואה של הסגור הספרבילי $\ K^{\operatorname {sep} }$ מעל $\ K$ (הסגור הספרבילי שווה לסגור האלגברי עבור שדות ממאפיין אפס). חבורת גלואה האבסולוטית של המספרים הרציונליים (ובאופן כללי יותר, של שדות מספרים) היא אחד האובייקטים המרכזיים הנחקרים במסגרת תורת המספרים האלגברית.

חבורת גלואה האבסולוטית היא חבורה פרו-סופית, המתקבלת כגבול פרויקטיבי של חבורות גלואה של ההרחבות הסופיות.

דוגמאות

בדרך כלל קשה לחשב את חבורת גלואה האבסולוטית; אפילו על חבורת גלואה האבסולוטית של הרציונלים מעט מאוד ידוע. עם זאת, יש מקרים שבהם ניתן לחשב את החבורה:

• חבורת גלואה האבסולוטית של שדה סגור ספרבילית היא טריביאלית.

• חבורת גלואה האבסולוטית של שדה המספרים הממשיים היא חבורה ציקלית מסדר 2 (הסגור הספרבילי הוא שדה המספרים המרוכבים ואיברי החבורה הם אוטומורפיזם הזהות ואוטומורפיזם ההצמדה).

• חבורת גלואה האבסולוטית של שדה סופי $\ \mathbb {F} _{q}$ היא ההשלמה הפרו-סופית של השלמים, כלומר $\ {\widehat {\mathbb {Z} }}$.

• ידוע ייצוג (פרו-סופי) עם מספר סופי של יוצרים ויחסים עבור חבורת גלואה האבסולוטית של שדה מקומי.

• חבורת גלואה האבסולוטית של שדה פונקציות $C(x)$, כאשר $C$ סגור אלגברית, היא (פרו-סופית) חופשית מדרגה השווה לעוצמה של $C$.

נסמן ב-$\Gamma _{F}(p)$ את המנה המקסימלית של $\Gamma _{F}$ שהיא חבורת-p. אם $F$ שדה מקומי ממאפיין $p$, אז $\Gamma _{F}(p)$ חופשית (Shafarevich). אם $F$ הרחבה סופית של $\mathbb {Q} _{p}$, אז $\Gamma _{F}(p)$ היא חבורה (פרו-סופית) בעלת יחס יחיד.

תכונות

• אין לחבורה איברים מסדר סופי, פרט אולי לאיברים מסדר 2 (משפט של Artin-Schreier משנות ה-20 של המאה ה-20).

• משפט קרונקר-ובר מתאר את המנה האבלית הגדולה ביותר של חבורת גלואה האבסולוטית של שדה מספרים. לפי השערת שפרביץ', חבורת גלואה האבסולוטית של השדה המתאים היא (פרו-סופית) חופשית.

• אם יריעה אלגברית $V$ מוגדרת מעל שדה $k$, אז חבורת גלואה האבסולוטית של $k$ פועלת על $V$ ולכן על כל חבורות הקוהומולוגיה של $V$. בהצגות הללו טמון מידע על תכונות אריתמטיות של $V$.

בעיות מרכזיות

• בעיית ההיפוך של תורת גלואה שואלת האם כל חבורה סופית היא חבורת גלואה של הרחבה סופית של הרציונלים. ניסוח שקול הוא האם כל חבורה סופית היא מנה של חבורת גלואה האבסולוטית של הרציונלים.

• תוכנית לנגלנדס מקשרת בין הצגות $n$-ממדיות של חבורת גלואה האבסולוטית של שדה מספרים להצגות אוטומורפיות של החבורה $\operatorname {GL} _{n}$.

• השערת ון דר ורדן קובעת שהסיכוי הסיכוי לכך שחבורת גלואה של פולינום מתוקן ממעלה n עם מקדמים שלמים הקטנים בערכם המוחלט מערך נתון H אינה החבורה הסימטרית חסום על ידי כפולה קבועה של $H^{-1}$. את ההשערה הוכיח מנג'ול בהרגבה ב-2021 ^{[דרוש מקור: https://arxiv.org/pdf/2111.06507.pdf]}.