חבורת p

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

בתורת החבורות, חבורת-p היא חבורה שהסדר של כל איבר בה הוא חזקה של p. קיימת מחלקה כזו של חבורות לכל מספר ראשוני p, והן נקראות, בהתאמה, חבורות-2, חבורות-3, חבורות-5, וכן הלאה. לפי משפט קושי, חבורה סופית היא חבורת-p אם ורק אם הסדר שלה הוא חזקה של p.

התאוריה של חבורות-p היא מרכיב חשוב בתורת החבורות הסופיות, משום שתת-חבורות סילו של חבורה הן כולן חבורות-p. מאידך, בעיית המיון של חבורות-p קשה, ומבחינות מסוימות היא בלתי אפשרית.

מבנה[עריכת קוד מקור | עריכה]

שוויון המחלקות מראה שהמרכז של חבורת p הוא לא-טריוויאלי. מכאן נובע (באינדוקציה על סדר החבורה) שהמנרמל של כל תת-חבורה אמיתית של חבורת-p, מכיל אותה ממש.

כל מכפלה ישרה של חבורות-p סופיות (גם לערכים שונים של p) היא חבורה נילפוטנטית, וגם ההיפך נכון: כל חבורה נילפוטנטית סופית מתפרקת למכפלה ישרה של חבורות-סילו שלה.

מספרן של חבורות-p[עריכת קוד מקור | עריכה]

עבור מספרים מאותו סדר גודל, מספר החבורות (עד כדי איזומורפיזם) מסדר n הוא הגדול ביותר כאשר n הוא חזקה של ראשוני. לדוגמה, יש 15 חבורות לא איזומורפיות מסדר 16 (לעומת 28 מכל הסדרים עד 15 גם יחד), 2328 חבורות מסדר 128 ו-56092 מסדר 256. Graham Higman (1960) ו-Sims (1965) הוכיחו שמספר החבורות מסדר \ p^n גדל כמו \ p^{2n^3/27}.

יש חבורה יחידה מכל סדר \ p; 2 חבורות מסדר \ p^2; 5 חבורות מסדר \ p^3; ו-15 חבורות מסדר \ p^4. מספר החבורות מסדר \ p^5 הוא 2p ועוד גורם בגודל חסום התלוי ב-p; מספר החבורות מסדר \ p^6 הוא \ 3p^2 ועוד גורם לינארי התלוי ב-p; מספר החבורות מסדר \ p^7 הוא \ 3p^5 ועוד גורם ממעלה רביעית התלוי ב-p. חישובים אלה, שנערכו בדייקנות, הביאו את Higman לשער השערה שנודעה בשם "The PORC conjecture" (על-שם ראשי התיבות Polynomials On Residue Classes), שלפיה לכל n יש N גדול מספיק כך שמספר החבורות מסדר \ p^n (עבור p גדול מספיק) הוא פולינום מסוים של p, התלוי ב- \ p \pmod{N} בלבד.

החבורות מכל סדר \ p^n, עבור \ n \leq 7 (וכאשר \ p=2, עבור \ n\leq 9) מויינו באופן מלא. יש \ 49478365422 חבורות מסדר \ 2^{10}.

אוטומורפיזמים[עריכת קוד מקור | עריכה]

משערים שאם P חבורת-p מסדר שאינו p או p^2, אז הסדר של חבורת האוטומורפיזמים \ |\operatorname{Aut}(P)| מתחלק בזה של P. חבורת האוטומורפיזמים החיצונית של חבורת-p תמיד כוללת איבר מסדר p.

חבורת פרטיני והצגות לפי יוצרים ויחסים[עריכת קוד מקור | עריכה]

חבורת פרטיני \ \Phi(P) של חבורת-p \ P היא תת-החבורה הנוצרת על ידי תת-חבורת הקומוטטורים וכל חזקות-p של אברי החבורה. לכן \ P/\Phi(P) היא מהצורה \ (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^d עבור d מתאים. במקרה זה, אפשר ליצור את החבורה על ידי d אברים, אבל לא פחות. את מספר היחסים בהצגה לפי יוצרים ויחסים אפשר לקרוא מחבורת ההומולוגיה השנייה \ H_2(P,\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}): גם זו חבורת-p אבלית אלמנטרית, שהדרגה שלה היא מספר היחסים המינימלי בהצגה של החבורה. משערים שתמיד יש לחבורה הצגה עם d יוצרים ו-r יחסים.

אלגברת החבורה[עריכת קוד מקור | עריכה]

לא ידוע אם אלגברת החבורה \ \mathbb{F}_p[G], כאשר P היא חבורת-p, קובעת את P עד-כדי איזומורפיזם.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]