חוג השלמים של גאוס

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
מספרים שלמים של גאוס כנקודות סריג במישור המרוכב

חוג השלמים של גאוס הוא אוסף המספרים \ \mathbb{Z}[i] = \{a+bi: a,b \in \mathbb{Z}\} כאשר \ i היא היחידה המרוכבת (\ i^2 = -1), היינו, מספרים מרוכבים בעלי קואורדינטות שלמות. אוסף זה, שהוא חוג השלמים בשדה \ \mathbb{Q}[i], הוא חוג אוקלידי, ולכן יש בו פירוק יחיד לגורמים.

הנורמה מוגדרת על החוג הזה לפי הנוסחה \ N(a+bi) = (a+bi)(a-bi) = a^2+b^2, זוהי פונקציה כפלית, השווה לריבוע הערך המוחלט של מספרים מרוכבים. חוג השלמים של גאוס הוא אוקלידי ביחס לנורמה: לכל \ x ולכל \ y \neq 0 יש \ r כך ש- \ N(x-ry)<N(y). בזכות האוקלידיות אפשר לחשב מחלק משותף מקסימלי באמצעות אלגוריתם אוקלידס, ולכל מספר יש פירוק יחיד לגורמים ראשוניים.

הראשוניים של גאוס[עריכת קוד מקור | עריכה]

כמו בכל תחום שלמות, איבר אי-פריק הוא איבר x שאי-אפשר לפרק בלי שאחד הגורמים יהיה הפיך. מכיוון שזהו תחום פריקות יחידה, כל איבר אי-פריק \ \pi הוא גם ראשוני (הוא אינו מחלק מכפלה בלי לחלק את אחד הגורמים שלה). לא כל מספר ראשוני במובן הרגיל של המלה נשאר ראשוני גם בחוג השלמים של גאוס. למשל, \ 5=(2+i)(2-i), ולכן 5 פריק ואינו ראשוני. עם זאת, אם \ \pi ראשוני אז הנורמה שלו \ \pi\bar{\pi} היא או מספר ראשוני, במובן הרגיל של המלה, או ריבוע של מספר כזה (אכן, \ \pi מחלק את אחד הגורמים הראשוניים של המספר השלם \ \pi\bar{\pi}, נאמר \ \pi|p, ואז גם \ \bar{\pi}|p ולכן \ \pi\bar{\pi}|p^2). מכאן מתקבלת חלוקה של הראשוניים, עד כדי כפל באיבר הפיך, לשלוש קבוצות:

  • אלו המחלקים את 2: זהו הראשוני \ 1+i (הגורם השני, \ 1-i, נוצר מהכפלה של הראשון באיבר הפיך – -i).
  • אלו המחלקים ראשוני רציונלי p השקול ל-1 מודולו 4: לפי משפט של פרמה, כל ראשוני כזה הוא סכום של שני ריבועים \ p=a^2+b^2, ואז \ a\pm bi הם שני הגורמים הראשוניים של p.
  • הראשוניים הרציונליים השקולים ל-3 מודולו 4.

תורת המספרים האלגברית לומדת בין השאר את הפירוק של אידאלים ראשוניים של \ \mathbb{Z} בחוג הגדול יותר \ \mathbb{Z}[i]. בהתאמה לשלוש הקבוצות של ראשוניים שהוזכרו לעיל, 2 הוא ראשוני מסועף, עם "e=2" (ראו e, f ו-g); לראשוניים השקולים ל-1 מודולו 4 יש g=2; ולראשוניים הנותרים יש f=2. למשוואה \ x^2+1\equiv 0\pmod{p} יש פתרון אם ורק אם f=1, כלומר בשני המקרים הראשונים.