חוג עם חילוק

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

במתמטיקה, חוג עם חילוק הוא חוג עם יחידה, שבו כל איבר שונה מאפס הוא הפיך. חוג קומוטטיבי עם חילוק אינו אלא שדה. הדוגמה הראשונה והמוכרת ביותר לחוג עם חילוק שאינו שדה היא אלגברת הקווטרניונים של המילטון.

חוגים עם חילוק מופיעים באופן טבעי באלגברה בזכות הלמה של שור: חוג האנדומורפיזמים של מודול פשוט הוא חוג עם חילוק. תוצאה זו היא המפתח לתורת המבנה של ארטין-ודרברן, המוכיחה בין השאר שכל חוג ארטיני פשוט הוא חוג של מטריצות מעל חוג עם חילוק (משפט ודרברן-ארטין).

בחקירת המבנה של חוגים עם חילוק, נקודת המוצא היא העובדה שהמרכז של חוג עם חילוק הוא שדה, ולכן החוג מהווה אלגברה מעל המרכז שלו. חוגים עם חילוק בעלי ממד סופי מעל המרכז, שהוא שדה F, נלמדים יחד עם שאר האלגברות הפשוטות המרכזיות מעל אותו שדה. לפי משפט Cartan-Brauer-Hua, אין לחוג עם חילוק תת-חוגים הנשמרים תחת הצמדה (פרט לחוג עצמו, ולתת-החוגים המוכלים במרכז שלו).

מחלקות אחרות של חוגים[עריכת קוד מקור | עריכה]

בחוג עם חילוק אין אידאלים חד-צדדיים, ולכן כל חוג כזה הוא פשוט (ולכן פרימיטיבי, ולכן ראשוני). ההיפך אינו נכון: החוגים \ M_n(D), כאשר D חוג עם חילוק, הם פשוטים, אבל יש בהם מחלקי אפס. כל תת-חוג של חוג עם חילוק הוא ראשוני (משום שאין בו מחלקי אפס). במקרה הקומוטטיבי, כל חוג ללא מחלקי אפס מוכל בשדה. טענה זו אינה נכונה במקרה הלא-קומוטטיבי: יש חוגים ללא מחלקי אפס, שאינם ניתנים לשיכון בחוג עם חילוק (Malcev, 1938).

מנקודת מבט נאיבית אפשר לראות בחוגים עם חילוק הכללה של שדות למקרה הלא קומוטטיבי, שהרי כל חוג קומוטטיבי עם חילוק הוא שדה. ואכן, חוג עם חילוק נקרא גם "שדה מעוות" (skew field) או אפילו סתם "שדה". עם זאת, יש מחלקות אחרות שאפשר לראות בהן הכללה לא קומוטטיבית של שדות באותה מידה של הצדקה: חוגים פשוטים, חוגים קומוטטיביים, ואף חוגים רגולריים שאינם מכפלה ישרה. לכל חוג קומוטטיבי (עם יחידה) יש חוגי מנה שהם שדות, ובאופן אנלוגי לזה, לכל חוג יש חוגי מנה פשוטים, אבל לאו דווקא מנות עם חילוק. לחוג אידאלים חופשיים למחצה יש "שדה אוניברסלי", שהוא חוג מנה, עם חילוק, שיש הצבה (specialization; הצבה היא הטלה מתת-חוג מקומי שהגרעין שלה הוא האידאל המקסימלי שלו) ממנו לכל מנה אחרת עם חילוק. בפרט, כאשר בונים באופן כזה את השדה האוניברסלי של אלגברה חופשית (לא קומוטטיבית), מתקבלת אלגברת חילוק גנרית, שאותה בנה שמשון עמיצור ב-1966, באמצעים אחרים. מאחר שהאלגברה החופשית הקומוטטיבית היא חוג פולינומים, אלגברה זו היא האנלוג הלא קומוטטיבי לשדה הפונקציות הרציונליות. עם זאת, לא כל איבר באלגברת החילוק הגנרית הוא מהצורה \ fg^{-1}, והצורה הכללית של אברים באלגברה הגנרית היא מסובכת בהרבה. (רק לחוגים המקיימים את תנאי אור יש שיכון בחוג חילוק, שבו כל איבר הוא מנה של אברים מן החוג המקורי).

אלגברה לינארית[עריכת קוד מקור | עריכה]

חוגים עם חילוק קרובים לשדות במידה כזו שאפשר לפתח מעליהם חלקים גדולים של האלגברה הלינארית, לרבות המושגים מרחב וקטורי, מטריצה והעתקה לינארית. כל המודולים מעל חוג עם חילוק הם חופשיים, ויש להם דרגה מוגדרת היטב (בדומה לממד של מרחבים וקטוריים). יוצא דופן חשוב הוא הדטרמיננטה - לא קיימת העתקה כפלית מן המטריצות מעל חוג עם חילוק אל החוג עצמו (אבל ראו דטרמיננטת דודונה). מטריצה בגודל n נקראת "מלאה" אם אי אפשר לפרק אותה למכפלה PQ שבה מספר העמודות ב-P קטן מ-m. מעל חוג עם חילוק מטריצה היא מלאה אם ורק אם היא הפיכה (אבל מעל תחומי שלמות שאינם שדות ייתכן שמטריצה תהיה מלאה למרות שאינה הפיכה אפילו מעל שדה השברים).

המשפט הקטן של ודרברן קובע שאין חוגים עם חילוק סופיים, פרט כמובן לשדות הסופיים.

דוגמאות[עריכת קוד מקור | עריכה]

אם D הוא חוג עם חילוק, אז גם החוג \ D(\!(x)\!) של טורי לורן מעל D הוא חוג עם חילוק. אם K/F הרחבת גלואה ציקלית מסדר ראשוני p, שהאוטומורפיזם \ \sigma יוצר את חבורת גלואה שלה, ו- \ \alpha \in F איבר שאינו נורמה בהרחבה, אז האלגברה הציקלית \ K[z | \forall k \in K: zkz^{-1}=\sigma(k), z^p = \alpha] היא אלגברה עם חילוק, ממימד \ p^2 מעל המרכז F.