חוג עם חילוק

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

במתמטיקה, חוג עם חילוק הוא חוג עם יחידה, המקיים דרישה אחת נוספת: לכל איבר שונה מאפס יש הפכי; כלומר, בנוסף לאקסיומות הרגילות, לכל קיים b כך ש- . כל שדה הוא חוג עם חילוק. מאידך, לחוגים כאלה חסרה רק דרישה אחת כדי להפוך לשדות - הקומוטטיביות - ולכן מתארים אותם לפעמים גם במונחים "שדה עם עיוות" (skew field) או אפילו סתם "שדה". הדוגמה הראשונה והמוכרת ביותר לחוג עם חילוק שאינו שדה היא אלגברת הקווטרניונים של המילטון.

חוגים עם חילוק מופיעים באופן טבעי באלגברה בזכות הלמה של שור: חוג האנדומורפיזמים של מודול פשוט הוא חוג עם חילוק. תוצאה זו היא המפתח לתורת המבנה של ארטין-ודרברן, המוכיחה בין השאר שכל חוג ארטיני פשוט הוא חוג של מטריצות מעל חוג עם חילוק (משפט ודרברן-ארטין).

בחוג עם חילוק אין אידאלים חד-צדדיים, ולכן כל חוג כזה הוא פשוט (ולכן פרימיטיבי, ולכן ראשוני). ההיפך אינו נכון: החוגים , כאשר D חוג עם חילוק, הם פשוטים, אבל יש בהם מחלקי אפס. כל תת-חוג של חוג עם חילוק הוא ראשוני (משום שאין בו מחלקי אפס). במקרה הקומוטטיבי, כל חוג ללא מחלקי אפס מוכל בשדה. טענה זו אינה נכונה במקרה הלא-קומוטטיבי: יש חוגים ללא מחלקי אפס, שאינם ניתנים לשיכון בחוג עם חילוק.

בחקירת המבנה של חוגים עם חילוק, נקודת המוצא היא העובדה שהמרכז של חוג עם חילוק הוא שדה, ולכן החוג מהווה אלגברה מעל המרכז שלו. חוגים עם חילוק בעלי ממד סופי מעל המרכז, שהוא שדה F, נלמדים יחד עם שאר האלגברות הפשוטות המרכזיות מעל אותו שדה.

[עריכה] אלגברה לינארית

חוגים עם חילוק קרובים לשדות במידה כזו שאפשר לפתח מעליהם חלקים גדולים של האלגברה הלינארית, לרבות המושגים מרחב וקטורי, מטריצה והעתקה לינארית. כל המודולים מעל חוג עם חילוק הם חופשיים, ויש להם דרגה מוגדרת היטב (בדומה לממד של מרחבים וקטוריים). יוצא דופן חשוב הוא הדטרמיננטה - לא קיימת העתקה כפלית מן המטריצות מעל חוג עם חילוק אל החוג עצמו (אבל ראו דטרמיננטת דודונה).

משפט של ג'וזף ודרברן קובע שאין חוגים עם חילוק סופיים, פרט כמובן לשדות הסופיים.

[עריכה] דוגמאות

אם D הוא חוג עם חילוק, אז גם החוג של טורי לורן מעל D הוא חוג עם חילוק.