חוג פולינומים

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

בתורת החוגים, חוג הפולינומים מעל חוג נתון, הוא חוג המרחיב את החוג הנתון על ידי הוספת משתנה בלתי תלוי. בחוג זה נמצאים כל הפולינומים מכל הדרגות שמקדמיהם הם איברים של החוג הנתון. בהינתן חוג R, בדרך כלל מסמנים את חוג הפולינומים שלו ב-R[x]. בין חוג לחוג הפולינומים שלו יש קשר הדוק, המהווה נושא בסיסי באלגברה מופשטת ובתורת החוגים.

הגדרה פורמלית[עריכת קוד מקור | עריכה]

נניח R חוג נתון. ניתן להגדיר את חוג הפולינומים R[x] בשתי הגדרות שקולה.

הגדרה ראשונה: ההגדרה הטבעית והישירה לחוג זה היא הקבוצה שמכילה את כל הפולינומים במשתנה בלתי תלוי x: R[x]=\left\{ { a }_{ o }+{ a }_{ 1 }x+...+{ a }_{ n }{ x }^{ n }|n\in N;{ a }_{ 0 },..,{ a }_{ n }\in R \right\} .

כך למשל ({ x }^{ 3 }+2{ x }^{ 2 }+1)+({ x }^{ 4 }+3{ x }^{ 2 }+6)={ x }^{ 4 }+{ x }^{ 3 }+5{ x }^{ 2 }+7.

כך למשל (x+2)\cdot (2{ x }^{ 2 }+9)=2{ x }^{ 3 }+4{ x }^{ 2 }+9x+18.

  • איבר האפס הוא הפולינום בו כל המקדמים הם האפס של החוג.
  • אם לחוג המקורי יש איבר יחידה, אזי גם לחוג הפולינומים ישנה יחידה, והיא אותו הפולינום עבורו { a }_{ 0 }=1,{ a }_{ 1 }={ a }_{ 2 }=...=0.


הגדרה שנייה: דרך הגדרה נוספת על ידי סדרות אינסופיות עם תומך סופי, של איברים מהחוג המקורי: R[x]=\left\{ ({ a }_{ o },{ a }_{ 1 },...,{ a }_{ n },0,0,....)|n\in N;{ a }_{ 0 },{ a }_{ 1 },...{ a }_{ n }\in R \right\} .

  • פעולת החיבור - מתבצעת רכיב רכיב, כלומר: ({ a }_{ o },{ a }_{ 1 },...,{ a }_{ n },0,0,....)+({ b }_{ o },{ b }_{ 1 },...,{ b }_{ m },0,0,....)=({ a }_{ o }+{ b }_{ o },...)
  • פעולת הכפל - נובעת מחוקי קונבולוציה, כלומר האיבר ה-i במכפלה ({ a }_{ o },{ a }_{ 1 },...,{ a }_{ n },0,0,....)\cdot ({ b }_{ o },{ b }_{ 1 },...,{ b }_{ m },0,0,....) הוא \sum _{ j=0 }^{ i }{ { { a }_{ j }b }_{ i-j } } .
  • איבר האפס הוא סדרת אפסים, כלומר (0,0,...).
  • אם לחוג המקורי יש איבר יחידה, אזי גם לחוג הפולינומים ישנה יחידה - (1,0,0...).

בהינתן הגדרות אלו, ניתן להוכיח כי כל אחת מהקבוצות הנ"ל עם הפעולות המתאימות היא חוג.

שקילות ההגדרות - ניתן להראות כי שתי ההגדרות הנ"ל שקולות, על ידי העתקה בין שני המבנים, שנתונה על ידי ({ a }_{ o },{ a }_{ 1 },...,{ a }_{ n },0,0,....)\mapsto { a }_{ o }+{ a }_{ 1 }x+...+{ a }_{ n }{ x }^{ n }.

דרגה[עריכת קוד מקור | עריכה]

בהינתן ההגדרות הנ"ל, נגדיר פונקציה מחוג הפולינומים לתוך המספרים הטבעיים, שתתאים לכל פולינום p(x)={ a }_{ o }+{ a }_{ 1 }x+...+{ a }_{ n }{ x }^{ n } את המספר הטבעי המקסימלי עבורו { a }_{ n }\neq 0, שיקרא הדרגה או המעלה של הפולינום, ונסמנו deg(p(x)). לעתים מבחינים את המקרה של פולינום האפס, ומגדירים deg(0)=-\infty .

הדרגה מקיימת deg(p(x) \cdot q(x)) \le deg(p(x))+deg(q(x)) לכל שני פולינומים שאינם אפס, ושוויון מתקיים בתחום שלמות.

תכונות יסודיות[עריכת קוד מקור | עריכה]

כעת נציג את הקשר בין חוג נתון לחוג הפולינומים שלו.

חלק מהתוצאות ניתן להכליל לחוגים במספר משתנים (ראו בהמשך).

פריקות פולינומים[עריכת קוד מקור | עריכה]

נאמר כי פולינום p(x) הוא פריק אם קיימים פולינומים a(x),b(x) לא הפיכים כך ש-p(x)=a(x)b(x). אחרת, נאמר כי הפולינום הוא אי פריק. פריקות פולינומים היא מנושאי היסוד של תורת החוגים ונושא זה בפרט. נציין מספר תכונות:

שורשים של פולינומים[עריכת קוד מקור | עריכה]

בהינתן פולינום p(x)={ a }_{ o }+{ a }_{ 1 }x+...+{ a }_{ n }{ x }^{ n } מתוך חוג פולינומים, נאמר כי איבר r \in R הוא שורש של הפולינום, אם p(r)=0. איבר r \in R הוא שורש של פולינום אם ורק אם הפולינום x-r מחלק את p(x). בפרט, במקרה זה הפולינום הוא ודאי פריק. נובע כי פולינום מדרגה 2 או 3 הוא פריק אם ורק אם יש לו שורש.

טענה שימושית בדבר קיומו של שורש לפולינום מעל חוג המספרים השלמים ושדה שברים שלו (המספרים הרציונליים) היא כלהלן - אם \frac { a }{ b } \in \mathbb{Q} שורש של פולינום, אזי a|{a}_{0}, b|{a}_{n}.בפרט, כל שורש שלם של פולינום מתוקן מחלק את המקדם החופשי שלו.

הרחבות[עריכת קוד מקור | עריכה]

ניתן להרחיב חוג פולינום, ולקבל מבנה עשיר יותר בכמה דרכים.

חוגי פולינומים במספר משתנים[עריכת קוד מקור | עריכה]

בהינתן חוג כלשהו, כבר ראינו איך מוסיפים לו משתנה אחד. לחוג החדש שהתקבל, אפשר להוסיף עוד משתנה, וחוזר חלילה. כלומר, ניתן ליצור חוגים בכמה משתנים בלתי תלויים. מספר המשתנים יכול להיות סופי ואינסופי. למשל, חוג פולינומים בשני משתנים מסומנים בדרך כלל ב-R[x][y]:=R[x,y].

נקודה מעניינת היא הישמרות התכונות מהחוג המקורי ועד לכל חוג פולינום במספר משתנים. מהתכונות לעיל, ניתן להסיק כי חוג הוא תחום שלמות/תחום פריקות יחידה/נותרי אם ורק אם חוג הפולינומים שלו במספר סופי של משתנים בלתי תלויים הוא מקיים את התכונה בהתאמה.

תוצאה מעניינת נוספת היא שחוג פולינומים ביותר משני משתנים לעולם לא חוג אוקלידי ולא תחום ראשי, שכן חוג הפולינומים במשתנה אחד פחות (כלומר לפחות במשתנה אחד) איננו שדה.

חוג טורי טיילור[עריכת קוד מקור | עריכה]

בהגדרה השנייה של חוג פולינומים דובר על סדרות עם תומך סופי, כלומר הפולינומים הם סופיים בלבד. אם נשמיט דרישה זו, נקבל את חוג טורי טיילור מעל חוג נתון, שמסומן בדרך כלל על ידי R[[x]]=\{ \sum _{ i=0 }^{ \infty  }{ { a }_{ i }{ x }^{ i } } |{ a }_{ i }\in R\} .

בחוג זה ישנו עולם עשיר יותר של איברים הפיכים - כך למשל 1-x הפיך וההפכי שלו הוא \sum _{ i=0 }^{ \infty  }{ { x }^{ i } } .

חוג טורי לורן[עריכת קוד מקור | עריכה]

חוג זה מכליל אף את חוגי טורי טיילור שהוצג לעיל, ומאפשר לכלול טורים עם חזקות שליליות, כלומר מהצורה \sum _{ i=-n }^{ \infty  }{ { a }_{ i }{ x }^{ i } } . נהוג לסמן חוג זה על ידי R((x))=\{ \sum _{ i=-n }^{ \infty  }{ { a }_{ i }{ x }^{ i } } |n\in N;{ a }_{ i }\in R\} .

במבנה זה ניתן להגדיר פונקציה דומה לפונקציה הדרגה שהוגדרה לעיל, על ידי \tilde { deg } (\sum _{ i=-n }^{ \infty  }{ { a }_{ i }{ x }^{ i } } )=-n, כלומר זהו האיבר בעל החזקה הנמוכה ביותר שעבורו המקדם אינו אפס. פונקציה זו מקיימת תכונות דומות לאלו של הדרגה.

התכונה החשובה של חוג זה היא, שבהינתן שדה \mathbb {F}, אזי \mathbb {F}((x)) אף הוא שדה. כלומר, זהו שדה שמכיל את חוג הפולינומים.

שדה השברים[עריכת קוד מקור | עריכה]

בהינתן תחום שלמות R, גם חוג הפולינומים שלו במספר סופי של משתנים הוא תחום שלמות. לכן, בהתאם לבנייה של שדה שברים של תחום שלמות, שדה השברים של חוג הפולינומים, המסומן על ידי R({x}_{1},...,{x}_{n}) והוא R({x}_{1},...,{x}_{n})=\{ \frac {p({x}_{1},...,{x}_{n})} {q({x}_{1},...,{x}_{n})} :p,q \in R[{x}_{1},...,{x}_{n}], q(x) \neq 0 \}. לשדה זה קוראים שדה הפונקציות הרציונליות ב-n משתנים.

חוגי מנה[עריכת קוד מקור | עריכה]

לחוגי מנה של חוגי פולינומים יש חשיבות רבה.

במשתנה אחד, כאמור, תחום שלמות הוא שדה אם ורק אם חוג הפולינומים שלו הוא תחום ראשי. במקרה זה, כל חוג מנה מקבל את הצורה  R[x]/<p(x)>. חוג זה הוא שדה אם ורק אם הפולינום p היוצר את האידאל הוא אי פריק. כך אפשר לייצר את השדות סופיים מכל סדר (שהוא חזקת ראשוני) - אם בוחרים R=\mathbb {Z} _ {p} שדה השאריות מודולו p, מספיק למצוא פולינום אי פריק מסדר מסוים k, ואז חוג המנה יהיה שדה מסדר p^{k}. פולינום כזה אכן קיים לכל ראשוני ולכל סדר שהוא.

בנוסף, חוגי מנה כנ"ל מהווים הרחבת שדות בה לפולינום יש שורש, והוא x+<f(x)>.

באופן כללי יותר, חוגי פולינומים במספר סופי של משתנים מעל חוג נתון הם אלגבראות. יותר מכך, חוגי המנה שלהם כוללים את אוסף כל האלגבראות האפיניות. רואים זאת בעזרת משפט האיזומורפיזם הראשון - בהינתן אלגברה אפינית R[a_{1},..,a_{n}], ההעתקה q שנתונה על ידי x_{i} \mapsto a_{i} היא אפימורפיזם מחוג הפולינומים ב-n משתנים לאלגברה, ולכן לפי משפט האיזו' הראשון R[x_{ 1 },..,x_{ n }]/ker(q)\cong R[a_{1},..,a_{n}].

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]