חוג פרימיטיבי

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

בתורת החוגים, חוג פרימיטיבי הוא חוג שיש לו מודול פשוט ונאמן.

החוגים הפרימיטיביים הם אחת המחלקות המרכזיות בתורת החוגים הלא-קומוטטיביים, והיא כוללת את כל החוגים הפשוטים. מאידך, כל חוג פרימיטיבי הוא ראשוני. בין החוגים הקומוטטיביים, כל חוג פרימיטיבי הוא שדה.

הגדרה[עריכת קוד מקור | עריכה]

מודול M מעל חוג R הוא נאמן אם לא קיים 0 \neq r \in R כך ש \ rM=0. החוג R הוא פרימיטיבי (שמאלי) אם יש לו מודול (שמאלי) פשוט ונאמן. בדומה לזה מגדירים חוג פרימיטיבי ימני; יש דוגמאות לחוגים שהם פרימטיביים משמאל אבל לא מימין (ולהיפך; ראה בהמשך).

אפיון פנימי[עריכת קוד מקור | עריכה]

חוג R הוא פרימיטיבי אם ורק אם יש לו אידאל שמאלי מקסימלי, שאינו מכיל אף אידאל דו-צדדי. זה שקול לכך שקיים לו אידאל שמאלי L כך ש-L+P=R לכל אידאל ראשוני P.


שיכון בחוגי אנדומורפיזמים[עריכת קוד מקור | עריכה]

כל חוג פרימיטיבי אפשר לשכן כ"חוג צפוף" בחוג אנדומורפיזמים מעל חוג עם חילוק, באופן הבא. נניח ש-M מודול (שמאלי) פשוט ונאמן של R. אז M מודול ימני מעל \ D=\operatorname{End}_R(M). מכיוון ש-M נאמן, ההעתקה הטבעית \ R \rightarrow \operatorname{End}M_D, המתאימה לאיבר \ a\in R את הפונקציה \ x \mapsto ax, היא שיכון. חוג האנדומורפיזמים שבתוכו R משוכן הוא בעל מבנה נוח במיוחד, משום שלפי הלמה של שור, D הוא חוג עם חילוק. משפט הצפיפות של ג'ייקובסון קובע שתמונת R בחוג האנדומורפיזמים היא צפופה, כלומר, לכל \,v_1, v_2, \dots, v_n\in M בלתי תלויים לינארית מעל D, ולכל \,w_1, w_2, ..., w_n \in M קיים \,r\in R כך ש \ r(v_i)=w_i לכל \ i=1,...,n.

בפרט, אם M בעל מימד סופי n מעל \ D = End_R(M), אז R איזומורפי לחוג המטריצות \ M_n (D). זהו המקרה למשל אם R ארטיני. מכאן נובע שבין החוגים הארטיניים, המחלקות של חוגים פשוטים, פרימיטיביים וראשוניים, מתלכדות.

אלגברת המטריצות הסופיות (כלומר, האנדומורפיזמים של F^{\omega} השומרים על \ \operatorname{span}(e_1,\dots,e_n) ומתאפסים מחוץ למרחב הזה) היא דוגמה לאלגברה פרימיטיבית שאינה ארטינית.

דוגמאות[עריכת קוד מקור | עריכה]

כל חוג פשוט הוא פרימיטיבי. בכיוון ההפוך, חוג פרימיטיבי מקומי משמאל (כלומר, כזה שיש לו אידאל שמאלי מקסימלי יחיד) הוא פשוט. האלגברה החופשית מעל שדה F היא חוג פרימיטיבי שאינו פשוט‏[1].

כל חוג פרימיטיבי הוא ראשוני. אחת השיטות לקבל תוצאות על חוגים ראשוניים כלליים מן הידוע על חוגים פרימיטיביים, היא הבניה הבאה (של Donald Passmann): נניח ש-R חוג ראשוני, X קבוצת משתנים שעוצמתה לפחות |R|, ו-Y קבוצת משתנים שעוצמתה שווה לזו של חוג טורי החזקות הלא-קומוטטיביים הפורמליים \ T = R\langle\langle X\rangle \rangle; אז חוג הפולינומים הלא קומוטטיביים \ T\langle Y \rangle הוא פרימיטיבי.

יהי D חוג עם חילוק. נסמן את המרכז שלו (שהוא שדה) ב-F. חוג הפולינומים (הקומוטטיביים) \ D[x_1,\dots,x_n] הוא פרימיטיבי אם ורק אם שדה הפונקציות \ F(x_1,\dots,x_n) מוכל (כאלגברה מעל F) בחוג המטריצות \ \operatorname{M}_m(D) לאיזשהו m[2]

אם R אלגברה ראשונית מעל שדה F שאינו בן-מניה ועוצמתו גדולה משל הממד \ \operatorname{dim}_F(R), ויש איבר \ x \in R שיש לו חזקה שונה מאפס בכל אידאל ראשוני שונה מאפס, אז R פרימיטיבי. כל על מכפלה של חוגים פרימיטיביים היא פרימיטיבית (עמיצור).

אחת הבעיות המרכזיות באלגברות חבורה היא השאלה מתי אלגברה כזו היא פרימיטיבית (או פרימיטיבית למחצה). לפי משפט של פורמנק, אם A,B חבורות (לא טריויאליות; שלא שתיהן מסדר 2), \ G = A * B היא המכפלה החופשית ו- R תחום שעוצמתו אינה עולה על של G, אז \ R[G] פרימיטיבי. במקרה שבו R שדה, ניתן לוותר על התנאי על העוצמות (שהוא הכרחי כאשר R איננו שדה). מצד שני, קונל הראה כי \ R[G] ראשוני אם ורק אם חוג הבסיס, R, ראשוני וגם לחבורה G אין תתי חבורות נורמליות סופיות (אמיתיות).

ג'ייקובסון שאל האם חוג פרימיטיבי שמאלי הוא גם פרימיטיבי ימני - ושיער שהתשובה שלילית. אכן, בהיותו סטודנט לתואר ראשון מצא ברגמן דוגמה לחוג כזה. מאוחר יותר הציג Jategaonkar בנייה אחרת (שיש לה תכונות נוספות מעניינות).‏[3]

משפט Kaplansky על חוגי PI קובע שחוג PI פרימיטיבי הוא אלגברה פשוטה בעלת ממד סופי מעל המרכז. לדוגמה, המישור הקוונטי F\langle x,y | yx = qxy\rangle, כאשר \ q\in F קבוע שאינו שורש יחידה, הוא חוג פרימיטיבי שאינו PI.

אידאלים פרימיטיביים[עריכת קוד מקור | עריכה]

בדומה להגדרה של אידאלים ראשוניים, אידאל פרימיטיבי הוא אידאל שהמנה ביחס אליו היא חוג פרימיטיבי. לחלופין, אלו הם המאפסים של מודולים פשוטים. כרגיל, אידאל האפס פרימיטיבי אם ורק אם החוג עצמו פרימיטיבי. איחוד על פני שרשרת של אידאלים פרימיטיביים לא חייב להיות פרימיטיבי (ואפילו לא ראשוני למחצה).

כל מודול פשוט מעל R הוא מהצורה R/L כאשר L אידאל שמאלי מקסימלי. מעובדה זו נובע שהליבה של אידאל שמאלי מקסימלי (היינו, סכום האידאלים הדו-צדדיים המוכלים בו) היא תמיד אידאל פרימיטיבי, ושחוג הוא פרימיטיבי אם ורק אם יש לו אידאל שמאלי מקסימלי שאינו מכיל אף אידאל דו-צדדי.

רדיקל ג'ייקובסון של חוג מוגדר כחיתוך האידאלים הפרימיטיביים. למרות ההבדל בין אידאל (דו-צדדי) שהוא פרימיטיבי שמאלי לבין אידאל פרימיטיבי ימני, החיתוך של שתי קבוצות האידאלים שוות, כך שההגדרה של רדיקל ג'ייקובסון היא סימטרית. אם הרדיקל שווה לאפס, אומרים שהחוג הוא פרימיטיבי למחצה (לפעמים גם "פשוט למחצה במובן ג'ייקובסון", או "J-פשוט למחצה"). זהו המקרה אם ורק אם החוג הוא מכפלה תת-ישרה של חוגים פרימיטיביים.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

הערות שוליים[עריכת קוד מקור | עריכה]

  1. ^ L.H.Rowen, Ring Theory I, Example 2.1.34; T.Y.Lam, A First Course in Noncommutative Rings, Prop. 11.23
  2. ^ McConnel and Robson, Noncommutative Noetherian Rings, 9.6.11.
  3. ^ L.H.Rowen, Ring Theory I, Example 2.1.36


מושגי יסוד באלגברה מופשטת

מונואידחבורהחוגתחום שלמותשדהמודולאלגברה (מבנה אלגברי)תורת החבורותתורת גלואהאלגברת ליהומומורפיזםמשפטי האיזומורפיזםתת חבורה נורמליתאידאללוקליזציההצגה לינארית