חוג ראשוני

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

בתורת החוגים, חוג ראשוני הוא חוג שבו המכפלה של כל שני אידאלים שונים מאפס, שונה מאפס. מחלקת החוגים הראשוניים היא בעלת תפקיד מרכזי בתורת החוגים, משום שהיא רחבה מאד, ואפשר להיעזר בה, דרך מנות ביחס לאידאלים ראשוניים ומכפלות תת-ישרות, כדי לנתח חוגים כלליים.

בחוג ראשוני כל שני אידאלים שונים מאפס נחתכים באופן לא טריוויאלי (הטענה נכונה גם כשאחד מהם הוא אידאל חד-צדדי). לכן אלו הם בדיוק החוגים שאינם ניתנים לפירוק בעזרת משפט השאריות הסיני.

בין החוגים הקומוטטיביים, חוג הוא ראשוני אם ורק אם הוא תחום שלמות. באופן כללי יותר, המרכז של כל חוג ראשוני הוא תחום שלמות.

חוג מטריצות מעל חוג ראשוני הוא חוג ראשוני. לפי משפט פוזנר[1], חוג ראשוני המקיים זהות פולינומית ניתן לשיכון בחוג מטריצות מעל אלגברת חילוק מממד סופי מעל המרכז שלו.

אידאלים ראשוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]

בכל חוג R, אידאל P הוא אידאל ראשוני אם חוג המנה \ R/P ראשוני. לכן אפס הוא אידאל ראשוני של R אם ורק אם R ראשוני בעצמו. יש כמה תכונות שקולות לכך שאידאל הוא ראשוני: אם P מכיל מכפלה של שני אידאלים, הוא מוכרח להכיל אחד מהם; אם P מכיל מכפלה של שני אידאלים שמאליים, הוא מוכרח להכיל אחד מהם.

אידאל המתקבל מחיתוך אידאלים ראשוניים הוא ראשוני למחצה. לחלופין, אידאל הוא ראשוני למחצה אם חוג המנה ביחס אליו הוא ראשוני למחצה.

  1. ^ [1]