חוק בייס

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

חוק בייס הוא תוצאה בתורת ההסתברות המאפשרת לחשב הסתברות מותנית של מאורע כאשר יודעים דווקא את ההסתברויות המותנות ההפוכות. הוא נוסח על ידי המתמטיקאי האנגלי תומאס בייס (אנגלית: Thomas Bayes) במאמרו "מאמר על פתרון בעיה בתורת הסיכויים" (Essay Towards Solving a Problem in the Doctrine of Chances), אשר פורסם ב-1764, לאחר מותו של בייס.

ניסוח פורמלי[עריכת קוד מקור | עריכה]

ה"הסתברות המותנית של מאורע A בהינתן מאורע B" היא הסיכוי להתרחשותו של A, בהנחה ש- B אכן התרחש. ההנחה מכווצת, כביכול, את מרחב המדגם, וכך אפשר לחשב הסתברות מותנית על-פי הנוסחה \ P(A|B) = \frac{P(A\cap B)}{P(B)}.

חוק בייס מאפשר לחשב הסתברות שבה מניחים התרחשות של מאורע A, בעזרת הסתברויות של A, המותנות במאורעות אחרים: אם \left\{B_i\right\}_{i\in K} חלוקה של מרחב המדגם שבה לכל החלקים הסתברות חיובית, אז לכל מאורע A בעל הסתברות חיובית מתקיים (לכל k) P(B_k|A)=\frac{P(A|B_k)P(B_k)}{\sum_i P(A|B_i)P(B_i)}. החוק נובע ישירות מנוסחת ההסתברות השלמה.

דוגמה[עריכת קוד מקור | עריכה]

במדינה קטנה במזרח התיכון יש שתי קופות חולים; 75% מהתושבים חברים בגדולה מבין השתיים, והשאר בקטנה. סקרי שביעות רצון העלו ש-90% מן החברים בקופת החולים הקטנה מרוצים מן הקופה, בעוד שרק 80% מהחברים בקופת החולים הגדולה מרוצים ממנה. על-כן מפרסמת החברה הקטנה מודעות ענק שלפיהן "אם אתם מרוצים כנראה שאתם חברים שלנו". נחשב את הסיכוי שאדם חבר בקופה הקטנה, כשידוע שהוא מרוצה. נסמן ב-S את התכונה "האדם חבר בקופה הקטנה", כך ש- \ P(S) = 0.25 ו-\ P(S^{c}) = 0.75 (הקבוצה \ S^c היא המשלימה של \ S). נסמן ב-H את התכונה "האדם מרוצה". לפי הסקר \ P(H|S) = 0.9, בעוד ש-\ P(H|S^c) = 0.8. לפי נוסחת ההסתברות השלמה, \ P(H) = P(H|S) P(S) + P(H|S^c) P(S^c) = 0.9\cdot 0.25 + 0.8 \cdot 0.75 = 0.825. לכן הסיכוי של אדם מרוצה להשתייך לקופה הקטנה, שווה ל-\ P(S|H) = \frac{P(S \cap H)}{P(H)} = \frac{P(H|S)P(S)}{P(H)} = \frac{0.9 \cdot 0.25}{0.825} \approx 0.273.

לכן טענת הפרסומת שקרית, אם אדם מרוצה הוא כנראה חבר בקופת החולים הגדולה. כמובן שגם אם הוא לא מרוצה הוא כנראה חבר בקופת החולים הגדולה.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]