חוק בייס

חוק בייס (Bayes) הוא תוצאה בתורת ההסתברות המאפשרת לחשב הסתברות מותנית של מאורע כאשר יודעים דווקא את ההסתברויות המותנות ההפוכות. הוא נוסח על ידי המתמטיקאי האנגלי תומאס בייס במאמרו "מאמר על פתרון בעיה בתורת הסיכויים" (Essay Towards Solving a Problem in the Doctrine of Chances), אשר פורסם ב-1764, לאחר מותו של בייס.

ניסוח פורמלי [עריכה]

ה"הסתברות המותנית של מאורע A בהינתן מאורע B" היא הסיכוי להתרחשותו של A, בהנחה ש- B אכן התרחש. ההנחה מכווצת, כביכול, את מרחב המדגם, וכך אפשר לחשב הסתברות מותנית על-פי הנוסחה $\ P(A|B) = \frac{P(A\cap B)}{P(B)}$ .

חוק בייס מאפשר לחשב הסתברות שבה מניחים התרחשות של מאורע A, בעזרת הסתברויות של A, המותנות במאורעות אחרים: אם $\left\{B_i\right\}_{i\in K}$ חלוקה של מרחב המדגם שבה לכל החלקים הסתברות חיובית, אז לכל מאורע A בעל הסתברות חיובית מתקיים (לכל k) $P(B_k|A)=\frac{P(A|B_k)P(B_k)}{\sum_i P(A|B_i)P(B_i)}$ . החוק נובע ישירות מנוסחת ההסתברות השלמה.

דוגמה [עריכה]

במדינה קטנה במזרח התיכון יש שתי קופות חולים; 75% מהתושבים חברים בגדולה מבין השתיים, והשאר בקטנה. סקרי שביעות רצון העלו ש-90% מן החברים בקופת החולים הקטנה מרוצים מן הקופה, בעוד שרק 80% מהחברים בקופת החולים הגדולה מרוצים ממנה. על-כן מפרסמת החברה הקטנה מודעות ענק שלפיהן "אם אתם מרוצים כנראה שאתם חברים שלנו". נחשב את הסיכוי שאדם חבר בקופה הקטנה, כשידוע שהוא מרוצה. נסמן ב-S את התכונה "האדם חבר בקופה הקטנה", כך ש- $\ P(S) = 0.25$ ו- $\ P(S^{c}) = 0.75$ (הקבוצה $\ S^c$ היא המשלימה של $\ S$ ). נסמן ב-H את התכונה "האדם מרוצה". לפי הסקר $\ P(H|S) = 0.9$ , בעוד ש- $\ P(H|S^c) = 0.8$ . לפי נוסחת ההסתברות השלמה, $\ P(H) = P(H|S) P(S) + P(H|S^c) P(S^c) = 0.9\cdot 0.25 + 0.8 \cdot 0.75 = 0.825$ . לכן הסיכוי של אדם מרוצה להשתייך לקופה הקטנה, שווה ל- $\ P(S|H) = \frac{P(S \cap H)}{P(H)} = \frac{P(H|S)P(S)}{P(H)} = \frac{0.9 \cdot 0.25}{0.825} \approx 0.273$ .