חוק בייס

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

חוק בייס הוא תוצאה בתורת ההסתברות המאפשרת לחשב הסתברות מותנית של מאורע כאשר יודעים דווקא את ההסתברויות המותנות ההפוכות. הוא נוסח על ידי המתמטיקאי האנגלי תומאס בייס במאמרו "מאמר על פתרון בעיה בתורת הסיכויים" (Essay Towards Solving a Problem in the Doctrine of Chances), אשר פורסם ב-1764, לאחר מותו של בייס.

[עריכה] ניסוח פורמלי

ה"הסתברות המותנית של מאורע A בהינתן מאורע B" היא הסיכוי להתרחשותו של A, בהנחה ש- B אכן התרחש. ההנחה מכווצת, כביכול, את מרחב המדגם, וכך אפשר לחשב הסתברות מותנית על-פי הנוסחה $\ P(A|B) = \frac{P(A\cap B)}{P(B)}$ .

חוק בייס מאפשר לחשב הסתברות שבה מניחים התרחשות של מאורע A, בעזרת הסתברויות של A, המותנות במאורעות אחרים: אם $\left\{B_i\right\}_{i\in K}$ חלוקה של מרחב המדגם שבה לכל החלקים הסתברות חיובית, אז לכל מאורע A בעל הסתברות חיובית מתקיים (לכל k) $P(B_k|A)=\frac{P(A|B_k)P(B_k)}{\sum_i P(A|B_i)P(B_i)}$ . החוק נובע ישירות מנוסחת ההסתברות השלמה.

[עריכה] דוגמה

ידועה לנו ההסתברות של הבועט אלן שירר להבקיע בפנדל, וכן גם ההסתברות של המגן גארי נוויל להבקיע בפנדל, שהיא נמוכה יותר. כלומר, ידוע לנו $\ P( \mbox{goal} | \mbox{Shearer} )$ ו $\ P( \mbox{goal} | \mbox{Neville} )$ ולהבא נסמנם בקיצור S ו-N ואת המאורע "הובקע שער" ב-G. כעת, נניח שאחד משניהם נבחר באופן אקראי (אנו יודעים ששירר נבחר בהסתברות $\ P(S)$ ) לבעוט את הפנדל המכריע. נניח כי שמעת ברדיו שהובקע שער באותו פנדל, מהי ההסתברות שבהינתן שהובקע השער הבועט היה שירר? כלומר, אנו רוצים לחשב $\ P(S|G)$ . ברור מבחינה אינטואיטיבית שהמידע שהובקע שער בפנדל משפיעה, כי לשירר סיכוי יותר גבוה להבקיע מאשר לנוויל ולכן סביר יותר הוא שאלן שירר היה זה שבעט את הבעיטה. חוק בייס נותן ניסוח כמותי להיגיון הנ"ל ומאפשר חישוב מדויק של ההסתברויות.

נחשב זאת:

ההסתברות ששירר הוא זה שבעט פרופורציונית להסתברות ששירר אכן נבחר כפול ההסתברות שהוא הבקיע, כלומר $\ P(S|G) \propto P(G|S) \cdot P(S)$ . אם אנו יודעים שההסתברות לכך ששירר זוכה בהגרלה על הבעיטה גבוהה יותר, ניתן יותר משקל לאפשרות ששירר בעט. כמו כן, אם אנו יודעים ששירר תמיד מבקיע, ניתן יותר משקל לעובדה שהוא הבועט בהינתן שיש שער (ניתן להבין זאת דווקא מהמקרה השלילי: אם שירר היה מחטיא כל בעיטה, ברור שהוא לא זה שהבקיע את הפנדל). כעת, נשים לב ש $\ P(S|G) \propto 1 / P(G)$ שכן ככל שהמאורע להבקעת שער נדיר יותר כך נהיה יותר בטוחים שאכן שירר "רגל הזהב" היה זה שבעט את הפנדל והבקיע. משני שיקולים אלה מקבלים בסך הכול ש

$\ P(S|G) = \frac{ P(G|S)P(S) }{ P(G) }$

מנוסחת ההסתברות השלמה אפשר לכתוב $\ P(G) = P(G|S) \cdot P(S) + P(G|N) \cdot P(N)$ ובסך הכול נקבל ש

$\ P(S|G) = \frac{ P(G|S)P(S) }{ P(G|S) \cdot P(S) + P(G|N) \cdot P(N) }$

נוסחה זו היא מקרה פרטי של חוק בייס.

[עריכה] ראו גם

[עריכה] קישורים חיצוניים

"An essay towards solving a Problem in the Doctrine of Chances" המאמר המקורי כפי שפורסם לאחר מותו של תומאס בייס ב-Philosophical Transactions of the Royal Society of London.

ד"ר יוסי לוי, הכוכב, הסמים והכומר - סקירה של משפט בייס, בבלוג "נסיכת המדעים"

חוק בייס

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

תוכן עניינים

[עריכה] ניסוח פורמלי

[עריכה] דוגמה

[עריכה] ראו גם

[עריכה] קישורים חיצוניים

צפיות

כלים אישיים

חיפוש

ניווט

קהילה

תיבת כלים

שפות אחרות