חוק בנפורד

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
ההסתברות המצטברת עבור הספרה המשמעותית ביותר של משתנה מקרי X בעל התפלגות מעריכית עם פרמטר \ \theta. הגרף התחתון מתאר את הסיכוי שהספרה הראשונה תהיה 1, זה שאחריו את הסיכוי שהיא תהיה 1 או 2, וכן הלאה. סדר השכיחויות קבוע (k שכיח מ-k+1), אבל עוצמת האפקט תלויה בהתפלגות ממנה נדגם X.
ההתפלגות על פי חוק בנפורד. משמאל - ההסתברות באחוזים לקבלת הספרה הראשונה

חוק בנפורד, או חוק הספרה הראשונה, הוא כלל היוריסטי ואמפירי אודות ההסתברות של הופעת ספרות בנתונים של אוכלוסיות טבעיות גדולות. החוק נתגלה ב-1881 על ידי המתמטיקאי והאסטרונום סימון ניוקומב. הוא נקרא על שמו של בנפורד שגילה אותו מחדש ב-1938.

על פי החוק, ספרות שערכן נמוך נוטות להופיע כספרה הראשונה במספר, יותר מאשר ספרות גבוהות; לדוגמה, ההסתברות שבמספר כלשהו הספרה השמאלית ביותר תהיה "1" גבוהה יותר מההסתברות שהספרה תהיה "9". החוק אינו תקף לגבי מספרים שהוגרלו אקראית (מספרי לוטו למשל) או לגבי אוכלוסיות שמצטמצמות מראש סביב תחום מצומצם על סקלת המספרים (למשל גבהים של בני אדם).

החוק קרוי על שמו של הפיזיקאי פרנק אלפרד בנפורד. בנפורד ניתח את תדירות הופעת הספרות 1-9 בתור הספרה המובילה באוכלוסיות גדולות של מספרים, וגילה כי ההתפלגות אינה אחידה, כפי שאפשר היה אולי לצפות.

כך למשל, אם נתבונן ברשימת גדלי האוכלוסייה ביישובים בישראל (31,000, 48,000, 112,000, 2,500 וכן הלאה) נגלה שבין הספרות הראשונות בכל מספר, ספרות נמוכות (1 או 2) מופיעות בשכיחות גבוהה יותר מאשר ספרות גבוהות (8 או 9). חוק בנפורד חל על אוכלוסיות מגוונות - גובהי בניינים, אורכי כבישים, חשבונות חשמל, מחירי מניות, הוצאות בחברות גדולות ועוד. החוק חל על הספרה הראשונה של המספרים, וכן, במידה פחותה והולכת, גם על שתי הספרות הראשונות, השלוש הראשונות, וכן הלאה.

התפלגות בנפורד נובעת מהנחה שכאשר כותבים את המשתנה בבסיס b, ההסתברות של ספרה מסוימת להופיע אינה תלויה במיקום שלה בתוך המספר‏[1]. מההנחות האלה נובע שההסתברות לכך שמספר כלשהו באוכלוסייה יתחיל בספרה \ n=1,\ldots,9 ניתנת לחישוב, ושווה ל-  P(n) = \log_{10}\left( 1+ \frac{1}{n}\right) .

שימושים[עריכת קוד מקור | עריכה]

ניתן להשתמש בחוק בנפורד לצורך זיהוי הונאה באוכלוסיות מספרים שהחוק חל עליהן. לדוגמה, כדי לבדוק האם תוצאות הבחירות 2009 באיראן זויפו או לא, נבדקה התאמתן לצפי מחוק בנפורד.‏[2]

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]

הערות שוליים[עריכת קוד מקור | עריכה]

  1. ^ Theodore Hill, Base-Invariance Implies Benford's law, Proc AMS, 123(3), 1995
  2. ^ Does the Iranian election stand up to statistics?, מגזין פלוס (באנגלית)