חוק קירי

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

חוק קיריאנגלית: Curie's law) הוא חוק פיזיקלי המקשר בין מגנטיזציה של חומר פאראמגנטי לבין השדה המגנטי המופעל עליו והטמפרטורה. הנוסחה המתארת את החוק היא:

\mathbf{M} = C  \frac{\mathbf{H}}{T}

כאשר:

  • M היא המגנטיזציה שנוצרת כתוצאה מהפעלת השדה המגנטי
  • H הוא השדה המגנטי
  • T היא הטמפרטורה (המוחלטת)
  • C הוא קבוע קירי שייחודי לכל חומר

מילולית ניתן לתאר את החוק כך:

"סוספטיביליות מגנטית של חומר פאראמגנטי נמצאת ביחס הפוך לטמפרטורה".

כלומר,  \chi \propto \frac{1}{T} , כאשר  \chi = \frac{\partial M}{\partial H} היא הסוספטיביליות המגנטית.

החוק התגלה באופן ניסויי (על ידי התאמת התוצאות למודל שנחזה בהצלחה) על ידי פייר קירי.

חוק קירי אינו תקף לכל החומרים הפאראמגנטיים אלא רק לחלקם (בעיקר מבודדים), ורק בתנאים מסוימים (טמפרטורה גבוהה או שדה מגנטי חלש).

פיתוח של חוק קירי[עריכת קוד מקור | עריכה]

המגנטיזציה של פאראמגנט כפונקציה של הערך ההופכי של הטמפרטורה

ניתן לקבל את חוק קירי מתוך המודל הבא של פאראמגנט. במודל זה מתייחסים לחומר כמורכב מחלקיקים בעלי מומנט מגנטי \vec{\mu}. החלקיקים קבועים במקום ואין ביניהם אינטראקציה. בהנחות אלו האנרגיה של המומנט המגנטי בתוך השדה נתונה על ידי

E=-\vec{\mu}\cdot\vec{H}

עבור ספין חצי[עריכת קוד מקור | עריכה]

במקרה פשוט של מומנט מגנטי בעל שני מצבים אפשריים (ספין 1/2) המומנט המגנטי יכול בכיוון השדה המגנטי או בכיוון המנוגד לשדה בלבד. האנרגיות של מצבים אלו הינם E0=-μH ו E1=μH

פונקציית החלוקה של החלקיק במקרה זה תהיה:

Z = \sum_{n=0,1} e^{- \beta E_n} = e^{ \beta\mu H} + e^{-\beta\mu H} = 2 \cosh\left( \beta\mu H\right)

כאשר  \beta = \frac {1}{k_B T} ו- k_B  הוא קבוע בולצמן. את המומנט המגנטי הממוצע (=המגנטיזציה הממוצעת לחלקיק) ניתן למצוא באופן ישיר על ידי:

\left\langle\mu\right\rangle =  \mu P\left(+\mu\right) -  \mu P\left(-\mu\right) 
 = {1 \over Z} \left( \mu e^{ \beta\mu H} -  \mu e^{  - \beta\mu H} \right),

או על ידי גזירה של פונקציית החלוקה:

\left\langle\mu\right\rangle  = {1 \over \beta } \frac{\partial}{\partial \beta} \log Z.

התוצאה המתקבלת בכל אחת מדרכים אלו היא \left\langle\mu\right\rangle  =  \mu \tanh\left(\beta\mu H\right)

זו המגנטיזציה של ספין יחיד. כדי לקבל את המגנטיזציה של כל החומר יש להכפיל במספר החלקיקים  N  . באופן זה מקבלים:

M = N\left\langle\mu\right\rangle = N \mu \tanh\left({\mu H\over k_B T}\right)

חוק קירי מתקבל מכאן בגבול של שדה מגנטי חלש וטמפטרטורה גבוהה, כלומר במקרה בו מתקיים  \frac{\mu H}{k_B T} \ll 1 . בגבול זה ניתן לקרב את ה-tanh לסדר ראשון ולקבל:

\mathbf{M}={N\mu^2\over k_B}{\mathbf{H}\over T}

וזה בדיוק חוק קירי, עם הקבוע  C = \frac{N\mu^2}{k_B} .

עבור ספין כללי[עריכת קוד מקור | עריכה]

עבור מקרה של ספין J כללי קיימים יותר משני מצבים. חישוב דומה נותן:

\ M = N g \mu_B J B_J(x)

כאשר g הוא מקדם לנדה,  \mu_B הוא מגנטון בוהר, \ x =   \frac{g \mu_B JH}{k_B T} ו-\ B_J(x) היא פונקציית ברילואן המוגדרת על ידי:

B_J(x) = \frac{2J + 1}{2J} \coth \left ( \frac{2J + 1}{2J} x \right )
                - \frac{1}{2J} \coth \left ( \frac{1}{2J} x \right )

גם כאן בגבול של טמפרטורות גבוהה ושדה חלש ניתן לקרב ולקבל:

\ M = \frac{NJ(J+1)g^2\mu_B^2 H}{3k_B T}

ושוב קיבלנו את חוק קירי (עם קבוע שונה במקצת).

עבור מומנט מגנטי קלאסי[עריכת קוד מקור | עריכה]

מומנט מגנטי קלאסי יכול להסתובב באופן חופשי. במקרה זה האנרגיה של כל חלקיק תהיה:

E =  - \mu H\cos\phi,

כאשר φ היא הזווית בין המומנט המגנטי והשדה המגנטי. פונקציית החלוקה המתאימה היא

Z = \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^{\pi}d\phi \sin\phi \exp( \mu H\beta \cos\phi).

ניתן לראות כי אין כל תלוי בזווית θ, וניתן להמיר את המשתנים לצורה y = cosφ על מנת להשיג

Z = 2\pi  \int_{-1}^ 1 d y \exp( \mu H\beta y) =
2\pi{\exp( \mu H\beta )-\exp(-\mu H\beta ) \over \mu H\beta }=
{4\pi\sinh( \mu H\beta ) \over  \mu H\beta .}

בעקבות זאת, ערך התצפית של רכיב z של המגנטיזציה (כאשר מתייחסים לרכיבים האחרים כשווים לאפס) יהיה לפי הנוסחה

\left\langle\mu_z \right\rangle = {1 \over Z} \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^{\pi}d\phi \sin\theta \mu\cos\phi \exp( \mu H\beta \cos\phi).

שוב, תוצאה זו ניתן לקבל גם על ידי גזירת פונקציית החלוקה:

\left\langle\mu_z\right\rangle = {1 \over Z H} \partial_\beta Z.

אם ממשיכים בתהליך הגזירה, מוצאים כי

\left\langle\mu_z\right\rangle = \mu L(\mu H\beta),

כאשר L היא פונקציית לנגווין:

 L(x)= \coth x -{1 \over x}.

הפונקציה הזו אינה סינגולרית עבור x קטן. מבחינה מעשית, ההתנהגות שלה עבור ארגומנטים קטנים דומה לזו של הפונקציה tanh, כך שנוסחת הגבול שלמעלה מיושמת גם במקרה זה.

יישומים[עריכת קוד מקור | עריכה]

חוק קירי הוא הבסיס להפעלה של תרמומטרים מגנטיים, המשמשים למדידת טמפרטורות מאוד נמוכות.

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]