חידות חיתוך והרכבה

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
חידת חיתוכים של הנרי ארנסט דודני מתוך הספר "Amusement in Mathematics". דודני מספר על נגר שרוצה לחתוך את לוח העץ המופיע באיור על-מנת להרכיבו מחדש וליצור לוח עץ ריבועי שישמש כלוח של שולחן, כל זאת מבלי שיצטרך לזרוק חומר, ותוך מספר החיתוכים הקטן ביותר האפשרי.

חידות חיתוך והרכבה הן חידות העוסקות בדרכים שבהן ניתן לחתוך צורה למספר צורות אחרות, בדרכים שבהן ניתן לקחת חלקים ולחבר אותם יחד לצורה חדשה, וכן בחידות המשלבות את שתי הפעולות: כיצד ניתן לחתוך צורה נתונה על מנת להרכיב צורה אחרת מחלקיה.

הטנגרם היא קבוצת החידות המפורסמת ביותר מסוג הזה. בטנגרם ריבוע מחולק לשבע חתיכות, ובעזרת החתיכות הללו ניתן ליצור מגוון צורות. חידות חיתוכים רבות עוסקות באופן שבו ניתן לחתוך צורה אחת למספר המינימלי של חלקים שמהם ניתן להרכיב צורה אחרת. החידה המפורסמת ביותר מהסגנון הזה היא חידת מוכר הסדקית של הנרי ארנסט דודני: כיצד ניתן לחלק משולש שווה-צלעות לארבע חתיכות, שמהן ניתן להרכיב ריבוע? באיור משמאל מוצגת חידה נוספת מסוג זה, שבה נגר מחפש דרך לחתוך את הצורה דמוית הבית לחלקים שמהם ניתן להרכיב ריבוע.

חידות חיתוך והרכבה הן נדבך מרכזי בתחום של שעשועי מתמטיקה, והן העסיקו חידונאים לאורך ההיסטוריה. לחידות אלו ישנן גם נגיעות לתחומים מרכזיים במתמטיקה; הבעיה השלישית של הילברט, למשל, עוסקת בחיתוכים ובהרכבות.

היסטוריה[עריכת קוד מקור | עריכה]

חידת חיתוכים של סם לויד מתוך ספר החידות "Cyclopedia of Puzzles". לויד שואל איך ניתן להפוך את הצורה שבאיור לריבוע, על ידי המספר הקטן ביותר של חיתוכים

מכיוון שחידות חיתוך משמשות בעיקר כשעשוע וכמשחק, ישנן עדויות היסטוריות מעטות להמצאתן ולפיתוחן. חידת החיתוך העתיקה ביותר שפורסמה היא חידת הסטומכיון של ארכימדס. בחידה זאת נתון ריבוע המחולק ל-14 חלקים, שאותם ניתן לפרק וליצור מהם צורות חדשות. על פי מחקר חדש, חקר ארכימדס את האפשרויות למספר הדרכים השונות הקיימות כדי לחבר את החלקים יחד על מנת ליצור ריבוע.

עדויות נוספות לקיומן של חידות חיתוך בעת העתיקה ובימי הביניים, מגיעות מתוך טקסטים מתמטיים שבהם החידות משמשות להוכחת משפטים גאומטריים. במאה הראשונה לפנה"ס הציג המתמטיקאי הסיני ליו היו‏‏‏[1] הוכחה של משפט פיתגורס המבוססת על חיתוך והרכבה, הוכחה שעתידה לשמש השראה להמצאת הטנגרם. במאה ה-5 הציג המתמטיקאי ההודי אריאבהטה הוכחה של אותו המשפט המבוססת על חיתוכים, הוכחה הנחשבת לפשוטה יותר מזו המופיעה בספר "יסודות" של אוקלידס. גם בטקסטים של מתמטיקאים מוסלמים מימי הביניים, בעיקר בפירושים וביאורים של הספר "יסודות", מופיעים מחקרים שונים על חידות חיתוך.

ספר של הואנג פו-סו משנת 1193 מתאר מערכת של שבעה שולחנות ריבועיים הקרויים 'שולחנות סעודה' (banquet tables). ספרו נחשב לספר הראשון בסין העוסק בריהוט, אך הספר כולל גם 76 שרטוטים לדרכים שונות שבהן ניתן לחבר את השולחנות יחדיו. בשנת 1617 פרסם קו שן (Ko Shan) מערכת של שולחנות סלון, שזכתה לכינוי 'כנפי הפרפר'. המערכת מכילה שולחנות שלהם צורות של משולשים ומרובעים, שאותם ניתן לחבר יחד על מנת ליצור מגוון של צורות.

ספר החידות הראשון המוקדש לחידות הרכבה התפרסם ביפן בשנת 1742. מחברו גרנרייקן (Granreiken) קרא לספר 'שבע חתיכות החוכמה של סיי שונגון', והספר הכיל 42 חידות ופתרונותיהן. 3 חידות הרכבה נוספות ראו אור ביפן עד תום המאה ה-18.

חידת ההרכבה המפורסמת ביותר, הטנגרם, הומצאה בסין בתקופת שלטונו של צ'יאה צ'ינג (Chia chi'ng - 1796 - 1820). ממציא החידה פרסם אותה בספרון, עליו הוא חתם בשם העט יאנג צ'ו צ'ו שי (Yang cho chu shih). כל עותקיו של הספרון המקורי אבדו. הספר העתיק ביותר של החידה שעדיין בנמצא נכתב על ידי סנג הסיאנג קו (Sang hsiang k'o), התפרסם בשנת 1813, והכיל 334 חידות טנגרם. הטקסט זכה להצלחה גדולה בסין, ותוך שנים ספורות תורגם והופץ באירופה ובארצות הברית.

במאה ה-19 פעלו במקביל שני החידונאים הנחשבים לגדולים בכל הזמנים: סם לויד והנרי ארנסט דודני. לויד היה אחד הראשונים להציג את הטנגרם למערב, כאשר פרסם ספרון המכיל כ-4,000 צורות ליצירה מטנגרם (מאוחר יותר התברר כי לא כולן אפשריות). בנוסף, הוא פרסם חידות חיתוך רבות ומגוונות. דודני, שהיה שותפו של לויד בתחילת דרכם ולאחר מכן הפך למתחרהו הגדול, היה המוכשר מבין השניים בכל הקשור לחידות חיתוך. דודני המציא עשרות חיתוכים מקוריים, שהמפורסם מכולם הוא "חידת מוכר הסדקית" שבה הוא מדגים כיצד להפוך משולש שווה-צלעות לריבוע, בעזרת חיתוך לארבעה חלקים בלבד. עד היום לא התגלתה דרך להפוך משולש שווה-צלעות לריבוע בעזרת חיתוך למספר קטן יותר של חלקים; דודני מחזיק בשיאים נוספים מסוג זה.

כאמור, לחידות חיתוך ישנן נגיעות לתחומים מרכזיים במתמטיקה. לקראת סוף המאה ה-19 הוכיחו מתמטיקאים שניתן לעבור מכל מצולע לכל מצולע אחר, באמצעות חיתוך למספר סופי של רכיבים והרכבתם מחדש. בשנת 1900 פרסם דויד הילברט את רשימת 23 הבעיות שלו, שרובן הפכו לאבני דרך חשובות בהתפתחות המתמטיקה. הבעיה השלישית של הילברט נוגעת לחידות חיתוכים, והיא מציגה את השאלה התלת ממדית המקבילה: האם ניתן להפוך כל פאון (צורה תלת ממדית הבנויה ממצולעים) לפאון שווה נפח אחר, בעזרת חיתוך והרכבה. בעיה זו נפתרה שנה מאוחר יותר (ומשום כך נחשבת לבעיה הקלה ביותר מבין הבעיות של הילברט) על ידי תלמידו, מקס דן, שהוכיח כי התשובה שלילית.

ב-1931 עסק אלפרד טרסקי ב"מרחק-הפירוק" \ \sigma(U,V) של שתי צורות U ו- V, שהוא המספר הקטן ביותר של מצולעים, חופפים בזוגות, שאליהם אפשר לפרק את הצורות ‏‏‏[2]. טרסקי העיר שהפונקציה מקיימת את הגרסה הכפלית של אי-שוויון המשולש: \ \sigma(W,V) \leq \sigma(W,U)\cdot \sigma(U,V), והציע לחקור את הפונקציה \ \tau(x)=\sigma(S,R_x) המודדת את המרחק מריבוע יחידה S למלבן שצלעותיו \ x ו- \ 1/x. ‏‏‏[3]

בשנת 1953 המציא סולומון גולומב את הפוליאומינו, משטחים הבנויים מחיבור של ריבועים. המצאה זאת הובילה תוך זמן קצר לשטף חדש של חידות חיתוך והרכבה המתייחסות לאריחי פוליאומינו.

בשנת 1964 פרסם הרי לינדגרן (Harry Lindgren), מהנדס אנגלי שהיגר לאוסטרליה, את הספר "Geometric Dissections" שהפך לספר העיון המרכזי בנושא. הספר הכיל עשרות חיתוכים חדשים פרי עטו וכלל שיאים רבים (מספר מינימלי של חלקים הדרושים לחתוך צורה אחת ולהרכיב צורה אחרת), שחלקם נשברו מאז. בעקבות טור של מרטין גרדנר על חידות החיתוך של דודני ולינדגרן, עלתה מידת הפופולריות של חידות אלה, והמשיכו להתגלות חיתוכים רבים ומגוונים. מבין העוסקים בתחום כיום, הפוריים ביותר הם גרג פרדריקסון (Greg Frederickson), פרופסור למדעי המחשב מאוניברסיטת פרדיו) וגווין תאובלד. ספרו של פרדריקסון, "Dissection Plane and Fancy", הוא כיום המקור הטוב ביותר למידע בתחום, וכן אתר האינטרנט של גווין תאובלד.

חידות חיתוך מפורסמות[עריכת קוד מקור | עריכה]

הסטומכיון[עריכת קוד מקור | עריכה]

הסטומכיון

החידה הנראית בתמונה משמאל נקראת "סטומכיון" או "אוסטומכיון" (Οστομάχιον, "כאב בטן" ביוונית) והיא מורכבת מ-14 חלקים שאיתם ניתן, בין השאר, להרכיב ריבוע. החידה מכונה לעתים "החידה המכנית (פאזל) העתיקה בעולם". בימי קדם היא נקראה "קופסת ארכימדס". החידה תוארה במאה הרביעית על ידי המשורר הרומי אוסוניוס, שציין שאפשר ליצור מ-14 החלקים אלפי צורות של אנשים וחיות. עד ראשית המאה ה-20 לא היה ידוע מה בדיוק הייתה החידה, ומה בדיוק היה העניין של ארכימדס בחידה. רמזים ראשונים לכך הגיעו בשנת 1881, כאשר התגלה בגרמניה טקסט ערבי ובו ציטוטים מתוך ספר של ארכימדס בשם "הסטומכיון" - ספר שלא היה מוכר לעולם המדעי עד לאותה עת. בשנת 1906 התגלה אותו ספר אבוד על ידי יוהאן לודוויג הייברג.

הייברג מצא במנזר בקונסטנטינופול קובץ ספרים של ארכימדס הקרוי "קודקס C". עד לאותה שנה היו מוכרים רק שני קובצי ספרים של ארכימדס (קודקס A וקודקס B), אך עקבותיהם אבדו, ונותרו רק תיאורים שלהם בספרים מאוחרים יותר. הטקסט שגילה הייברג היה העתק הקודקס השלישי של ארכימדס שנעשה במאה העשירית, אך היה בצורה של פלימפססט: בשנת 1229, כנראה בשל מחסור בנייר, נזיר כלשהו מחק את הכיתוב מעל המגילה שעליה נכתבו ספריו של ארכימדס, ורשם מעליהם סידור תפילה. בשנת 1998 הפלימפססט צץ מחדש כאשר הוצע במכירה פומבית (ונקנה תמורת שני מיליון דולר); מאז ניתנה לחוקרים גישה אליו במטרה לפענח את ספריו המקוריים של ארכימדס. בין הספרים של ארכימדס שהתגלו בקודקס היו שלושה ספרים שלא היו מוכרים לפני 1996; אחד מהם הוא הסטומכיון.

לרוע המזל, מצבו הפיזי של הפלימפססט של ארכימדס הוא בכי רע; בפרט, דפי הספר של הסטומכיון קשים מאוד לקריאה. מניתוח שלהם סבורים כיום החוקרים שארכימדס חקר את הבעיה הקומבינטורית של מספר הדרכים השונות שבהן ניתן להרכיב ריבוע מתוך אותם 14 חלקים (אכן, ישנם \ 17152=2^8\cdot 67 פתרונות לחידה זו). זאת, יותר מ-1,700 שנה לפני המצאת הקומבינטוריקה.

הטנגרם[עריכת קוד מקור | עריכה]

Postscript-viewer-shaded.png ערך מורחב – טנגרם

הטנגרם הוא חלוקה של ריבוע לשבע חתיכות, שעל ידי הרכבה שלהן ניתן ליצור מגוון רחב של צורות חדשות. קדמו לטנגרם מספר חידות דומות ביפן, ובסין שם חידות אלו שימשו בתור מערכת ריהוט: סט שולחנות המורכב ממשולשים ומרובעים שאותם ניתן לסדר בצורות שונות לפי האורחים המגיעים ומשיקולים אסתטיים. העדות הכתובה הראשונה לקיומו של הטנגרם מגיעה מספרון המתוארך לשנת 1813. הספרון מציין שהטנגרם הומצא בהשראת הוכחות מבוססות חיתוכים למשפט פיתגורס.

שנים אחדות לאחר יציאתם לאור של ספרי הטנגרם בסין הם זכו לתרגומים שהתפרסמו בארצות הברית ובאירופה, ובעקבותיהם זכה המשחק להצלחה רבה גם במערב. בין השאר הסופר לואיס קרול, מחבר הרפתקאות אליס בארץ הפלאות (וחידונאי מוכשר), וכן הפיזיקאי האנגלי מייקל פאראדיי היו חובבי טנגרם ואף המציאו מספר חידות טנגרם משלהם. גם ברשותו של נפוליאון בונפרטה היה סט של טנגרם, כולל ספר הוראות, בתקופת מאסרו בסנט הלנה.

חידת מוכר הסדקית[עריכת קוד מקור | עריכה]

פתרון חידת מוכר הסדקית מתוך ספרו של דודני "The Canterbury Puzzles"

חידה זאת היא החידה המפורסמת ביותר בין אלו שמטרתן לחתוך צורה אחת למספר הקטן ביותר של חתיכות, שמהן ניתן להרכיב צורה אחרת; במקרה זה, המטרה היא להפוך משולש שווה-צלעות לריבוע. את החידה פרסם לראשונה הנרי ארנסט דודני בעיתון "Daily Mail", ולאחר מכן כלל אותה בספר החידות שלו, "The Canterbury Tales". בספר זה (השואב השראה מסיפורי קנטרברי של ג'פרי צ'וסר) קבוצת נוודים נפגשת בקנטרברי והם מחליפים ביניהם חידות. כאשר מגיע תורו של מוכר הסדקית (באנגלית: Haberdasher), הוא שולף פיסת בד בצורת משולש שווה-צלעות וזוג מספריים, ומבקש מחבריו למצוא דרך לחתוך את חתיכת הבד לארבעה חלקים בלבד ואז להרכיב מהם ריבוע.

Haberdasher strips.svg

החידה מפורסמת בעיקר בזכות הפתרון היפה של דודני, הנראה באיור. לא רק שדודני אכן הצליח לבצע את המשימה בעזרת ארבעה חיתוכים בלבד, אלא גם ניתן לתלות צירים המחזיקים את ארבעת החלקים יחד, כך שכאשר מסובבים את החלקים לכיוון אחד נוצר ריבוע, וכאשר מסובבים אותם לכיוון השני נוצר משולש שווה-צלעות. דודני נותן בספר הסבר מפורט וטכני כיצד למצוא את הנקודות המשמשות לחיתוך, אך הוא אינו נותן רמז לאופן שבו הוא גילה את החיתוך. דרך אחת שבה ניתן לייצר את החיתוך מבוססת על השוואת שני ריצופים של המישור (ראו איור מימין), וההערכה היא כי דודני השתמש בשיטה זו.

הפתרון של דודני לחידת מוכר הסדקית מיוחד בכך שניתן לחבר את החלקים כולם יחד בעזרת צירים, כך שכאשר מסובבים את החלקים לכיוון אחד נוצר ריבוע, וכאשר מסובבים אותם לכיוון ההפוך נוצר משולש

חידות של חיתוך בלבד[עריכת קוד מקור | עריכה]

חיתוך לצורות שוות שטח[עריכת קוד מקור | עריכה]

קל להוכיח שניתן לחלק כל צורה לשתי צורות שוות שטח, בעזרת ישר אחד. ההוכחה מסתמכת על משפט ערך הביניים: נצייר קו במישור משמאל לצורה - ונחליק אותו ימינה דרך הצורה. בתחילה, כל שטח הצורה נמצא מימין לקו, ולבסוף כל שטח הצורה נמצא משמאל - בהכרח לאורך הדרך, בדיוק חצי משטח הצורה יהיה מימין לקו. ניתן להוכיח באופן דומה כי ניתן לחלק כל צורה ל-n חתיכות שוות שטח באמצעות n-1 קוים ישרים.

ישנן מספר חידות שבהם יש לחלק צורה לחלקים שווי שטח, ללא אמצעי מדידה. לדוגמה, חידה קלאסית‏‏‏[4] מספרת על שני שודדים המחלקים ביניהם עוגה באופן הבא: השודד הראשון מחלק את העוגה לשתי חתיכות והשודד השני בוחר לעצמו את החתיכה לפי רצונו. באופן זה, החתיכות המתקבלות אינן בהכרח שוות שטח, אך אף אחד מהשודדים לא יכול להתלונן על מנת חלקו. החידה מבקשת למצוא דרך להכליל את החידה כך שניתן יהיה לחלק עוגה ל-n שודדים.

חיתוך לצורות זהות ולצורות דומות[עריכת קוד מקור | עריכה]

אף שניתן לחלק כל צורה ל-n צורות שוות שטח, לא כל צורה ניתן לחלק ל-n צורות זהות בצורתן, וישנן חידות רבות הדורשות זאת. באיור ניתן לראות כיצד ניתן לחלק את הצורה הנקראת "L טרומינו" ל-3 ול-4 חלקים זהים. חלוקת L טרומינו ל-2 חלקים זהים היא פשוטה יחסית; מיכאל בילר הוכיח‏‏ שאת ה-L טרומינו ניתן לחלק גם לכל מספר לא ראשוני של חלקים זהים‏[5]. לגבי מספרים ראשוניים הגדולים מ-3, לא התגלו עדיין חלוקות כאלו, אך גם לא הוכח שהן אינן אפשריות.

סוג מיוחד של צורות הן צורות שניתן לחלק אותן לחלקים הדומים לצורה המקורית. את ה-L טרומינו, כמו שנראה באיור, ניתן לבנות באמצעות ארבעה עותקים מוקטנים של עצמו. מרטין גרדנר נתן לצורות הללו את השם רפטיילים. וריאציה נוספת לחידות אלו היא חלוקת צורה לחלקים שכולם דומים זה לזה אך לא זהים.

חידות אלגבריות[עריכת קוד מקור | עריכה]

ישנן חידות רבות העוסקות בצד האלגברי של חיתוכים. חידה מפורסמת היא: מהו המספר הגדול ביותר של חלקים שאליו ניתן לחלק מעגל, בעזרת שישה חיתוכים של קווים ישרים בלבד?

חידה נוספת‏‏ שואלת מהו המספר הקטן ביותר של חיתוכים הנדרשים על מנת לפרק חפיסת שוקולד בת 6x8 קוביות לקוביות בודדות.‏[6]

לרבע את הריבוע[עריכת קוד מקור | עריכה]

מלבן מחולק לריבועים ודיאגרמת סמית המתאימה לו

חלוקה של מלבן לריבועים היא נושא לחידות רבות ולתגליות מפתיעות. פריצת דרך גדולה בהבנת חידות אלו קשורה בתגלית של קשר ביניהן לבין מעגלים חשמליים וחוקי קירכהוף. בנייה של מלבן בעזרת ריבועים זכתה לכינוי 'ריבוע של המלבן', כמשחק מילים על הבעיה הגאומטרית החשובה של תרבוע העיגול.

בשנת 1902 הציג הנרי ארנסט דודני חידה, לה קרא "תיבתה של הגברת איזבל", שמטרת לבנות ריבוע מחלקים שכוללים ריבועים קטנים יותר ומלבן. ב-1914 הציג סם לויד חידה שבה יש להרכיב ריבוע מאוסף של ריבועים קטנים יותר. הפתרון שמצא לויד כולל ריבועים בגדלים: 7,6,6,4,3,3,2,2,2,1,1 - ולבנייה כזאת קוראים היום "ריבוע לא מושלם של הריבוע" - "לא מושלם" מכיוון שהוא כולל ריבועים הזהים זה לזה. מקס דן הוכיח בשנת 1903 שניתן לרבע מלבן רק אם היחס בין אורכי הצלעות שלו הוא רציונלי. אחת השאלות המסקרנות ביותר שעלתה מהעבודות הללו היא האם ניתן "לרבע את הריבוע", כלומר האם ניתן לחלק את הריבוע לריבועים קטנים יותר, שאף אחד מהם לא זהה לאחר. הראשון לפתור את השאלה היה רולנד ספרג (Roland Sprague), שהצליח לחלק ריבוע ל-55 ריבועים קטנים יותר. במקביל אליו, הצליחו ארבעה סטודנטים מאוניברסיטת קיימברידג' לחלק את הריבוע ל-39 ריבועים קטנים יותר, ותוך כדי כך הגיעו לתובנות רבות הקשורות לתאוריה שמאחורי החידה.

חלוקת הריבוע ל-21 ריבועים קטנים (Duijvestijn)

ארבעת הסטודנטים: רולנד ברוקס, ארתור סטון, סדריק סמית וויליאם טוט, החלו בשנת 1936 לחקור באופן שיטתי את בעיית הריבוע של הריבוע ושל מלבנים. פריצת הדרך הגדולה בפתרון החידה הגיעה הודות לגילוי של אנלוגיה בין חיתוך למרובעים לבין מעגלים חשמליים. האנלוגיה התגלתה על ידי אחד מהרביעייה, סדריק סמית, ושלושת האחרים מיד נתנו לה את שמה המוכר כיום, "דיאגרמות סמית".

על מנת להבין את האנלוגיה, נביט על מלבן המחולק לריבועים ונבנה גרף מכוון של המלבן באופן הבא: נחליף כל קטע מאוזן בקודקוד, שני קודקודים יהיו מחוברים בצלע במידה ושני הקטעים המתאימים נמצאים משני צדיו של אותו ריבוע, כיוון הצלע תהיה מהקטע העליון לתחתון, ולקטע יינתן משקל השווה לאורך צלע הריבוע. הגרף המתקבל אנלוגי למערכת חשמלית של נגדים שבה כל צלע היא נגד בעל התנגדות 1, והמשקל של הצלע מציין את הזרם הזורם דרך אותו נגד. על מנת להבין את האנלוגיה לחשמל, יש לשים לב ששני חוקי קירכהוף מתקיימים לגבי דיאגרמות סמית: החוק הראשון קובע שהזרם הנכנס לכל צומת שווה לזרם היוצא החוצה מהצומת, וזה ברור מכיוון שאורך הקטע המאוזן שווה לסכום הריבועים הנוגעים בו מלמעלה ומלמטה. החוק השני של קירכהוף קובע שהזרם בכל לולאה סגורה הוא 0, וגם חוק מתקיים מכיוון שמסלול סגור בדיאגרמה מקביל למסלול שעולה למעלה ולמטה בתוך המלבן, מכיוון שמסלול סגור חוזר לאותה נקודה אזי סכום הפעמים שעלינו למעלה וירדנו למטה במהלך המסלול זהה. מכיוון ששני חוקי קירכהוף מתקיימים, יש אנלוגיה בין החידה לבין מעגלים חשמליים.

האנלוגיה למעגלים חשמליים איפשרה לקחת את תורת ניתוח המעגלים החשמליים ולהשתמש בה כדי לחקור ריבוע של מלבנים - וכך במהרה הצליחו חברי הרביעייה לרבע עוד ועוד מלבנים - ולבסוף גם לרבע את הריבוע עצמו. על בסיס העבודה הזאת בדק דאובסטיין בשנת 1978 את כל הגרפים המכוונים עד סדר 21 (כלומר כל הגרפים המכילים 21 קודקודים או פחות, גרפים המתרגמים למלבנים המחולקים ל-21 ריבועים או פחות), והראה שיש שיטה לחלק ריבוע ל-21 ריבועים שאינם זהים, וכן שאין חלוקה למספר קטן יותר של ריבועים לא זהים (Duijvestijn)‏[7].

ב1953 הוכיח דב ירדן, באמצעות נימוק נסיגה פשוט, שלא ניתן לפרק תבה תלת-ממדית כאיחוד זר של קוביות בגדלים שונים‏‏‏[8].

חידות הרכבה בלבד[עריכת קוד מקור | עריכה]

חידות הרכבה הן חידות שבהן נתונים מספר חלקים, והמטרה היא לחברם יחדיו. מבין חידות ההרכבה טנגרם ופאזלים זוכים להצלחה מסחרית רבה, וכן חידות הרכבה תלת-ממדיות.

ריצופים[עריכת קוד מקור | עריכה]

Postscript-viewer-shaded.png ערך מורחב – ריצוף של המישור

תת-קבוצה של בעיות הרכבה היא בעיות ריצופים, שבהן המטרה אינה להרכיב צורה מסוימת אלא למלא את כל המישור כולו.

מחקר מתמטי ושעשועי רב נעשה בנושא ריצופים, שחלקו נובע מהשימושים של ריצופים בטבע - כוורת דבורים, פני שטח של גבישים (קריסטלוגרפיה), תופעות גאולוגיות כגון ברכות משושים ועוד) ובאמנות (כגון באמנות אסלאמית ובעבודותיו של מוריץ קורנליס אשר). ניתן להוכיח שהמצולעים המשוכללים היחידים שאיתם ניתן לרצף את המישור הם המשולש, הריבוע והמשושה; ריצופים אלו נקראים ריצופים משוכללים. קיימת קבוצה גדולה של ריצופים הנקראים "אחידים", המורכבים משילוב של מספר סוגים של מצולעים משוכללים (ריצופים אלו מוגדרים כך שכל הקודקודים בהם זהים). תגלית מפורסמת בנושא ריצופים היא ריצופי פנרוז, שהתגלו בשנת 1973 על ידי הפיזיקאי רוג'ר פנרוז - באמצעותם ניתן לרצף את המישור כולו, אך הם אינם מאפשרים ריצוף מחזורי של המישור.

פוליאומינו[עריכת קוד מקור | עריכה]

Postscript-viewer-shaded.png ערך מורחב – פוליאומינו
משפחת ההקסומינו - ניתן לבנותם מחיבור של שישה ריבועים יחד (35 חברים במשפחה)

בשנת 1953 הציג סולומון גולומב את המונח פוליאומינו, המתאר משטחים מישוריים (לעתים מכונים "Lattice Animals") המורכבים מחיבור של מספר ריבועים זה לזה (לאורך שפותיהם). הפוליאומינו מחולקים למשפחות לפי מספר הריבועים שהם מכילים: המונומינו מכיל ריבוע אחד, הדומינו בנוי משני ריבועים, הטרומינו משלושה (ישנם שני סוגים במשפחת הטרומינו) הטטרומינו בנויים מארבעה ריבועים (ישנם 5 יצורים שונים כאלו, המככבים, יחד עם שיקופים שלהם, במשחק הטטריס) וכן הלאה. המצאת הפוליאומינו הביאה מיד לגל גדול של יצירת חידות הקשורות להרכבה ולריצוף.

חידה קלאסית היא לרצף לוח שחמט, (מורכב מ-8 שורות ו-8 עמודות, סך הכל 64 ריבועים) שממנו נחתכו הפינה הימנית התחתונה והשמאלית העליונה על ידי 31 אריחי דומינו.

דוגמה לסוג חידות נוסף היא החידה אלו מלבנים ניתן להרכיב מחיבור יחד של כל 12 הפנטומינו, ובכמה אפשרויות שונות אפשר ליצור כל מלבן? ‏‏‏[9]

הפוליאומינו מציגים גם מספר רב של בעיות קומבינטוריות. מציאת כמה פוליאומינו יש מכל משפחה (מונומינו אחד, דומינו אחד, שני טרומינו וכן הלאה), היא בעיית הרכבה קומבינטורית לא טריוויאלית (הבעיה עודנה פתוחה וישנם אומדנים בלבד למספר זה).

הרכבות תלת ממדיות[עריכת קוד מקור | עריכה]

במהלך הרצאה על מכניקת קוונטים שנתן ורנר הייזנברג, המציא פייט היין, משורר ומדען דני (הידוע גם כממציא של משחק הלוח הקס) שעשוע המהווה הכללה של הרכבות פוליאומינו לתלת-ממד. הרעיון של היין היה, בדומה לפוליאומינו, לבנות משפחות של גופים תלת-ממדיים הבנויים מחיבור יחדיו של קוביות שלהם קוראים "פוליקוביות". כך לדוגמה ישנם שתי תלת-קוביות - שני סוגים של גופים הבנויים מחיבור יחדיו של שלוש קוביות, ו-7 טטרקוביות: 7 צורות הבנויות מחיבור יחדיו של ארבע קוביות. היין גילה שניתן לבנות קובייה בגודל 3x3x3 מ-7 יחידות של פוליקוביות (6 טטרקוביות ותלת-קוביה אחת). הוא נתן לחידה את השם "קוביית סומה", על שם הסם הבדיוני, מעורר התענוגות, מהספר "עולם חדש מופלא" של אלדוס האקסלי - משום שהמשחק, על פי היין ואחרים, הוא ממכר ומהנה במיוחד.

קוביית סומה היא אחת הדוגמאות הנמכרות ביותר לחידות הרכבה תלת-ממדיות. בחידות אלו האתגר אינו רק למצוא מה המיקום הנכון של כל חתיכה, אלא גם באיזה רצף יש לשלב את החלקים זה בזה. חידות אלו מוכרות בשם "חידות בור" (Burr puzzle) או "חידות שילובים" (Interlocking puzzles). באופן טיפוסי, החידות בנויות מחלקי עץ או מפלסטיק, ובשנים האחרונות נעשה שימוש בתוכנות מחשב להמצאה של חידות אלו ובדיקתן.

הפיכת צורה אחת לאחרת[עריכת קוד מקור | עריכה]

יאנוש בולאי, הידוע בעיקר כאחד האבות של הגאומטריה הלא-אוקלידית, העלה את השאלה: האם עבור כל זוג מצולעים ניתן למצוא חיתוך של הראשון לחתיכות שמהן ניתן להרכיב את המצולע השני (בהנחה שהם בעלי אותו השטח)? החל מאמצע המאה ה-19 ועד לסופה, ניסו מתמטיקאים אחדים לפתור בעיה זו. ההוכחה הכללית שמכל מצולע ניתן להגיע לכל מצולע אחר על ידי חיתוכים והרכבות מתבססת על אלגוריתם הבנוי ממספר שלבי ביניים:

איך להפוך כל מצולע למצולע אחר (שווה שטח) באמצעות חיתוך והרכבה
שלב הסבר תמונה
1) למצוא חיתוך המאפשר להפוך משולש למלבן מציירים קו מקביל לבסיס המשולש במחצית גובהו, מורידים אנך מהקודקוד שממול אל אותו קו, ומשלושת החלקים שמתקבלים ניתן להרכיב מלבן. Tri2rect.svg
2) להפוך כל מלבן שהוא לכל מלבן אחר (שווה שטח) החיתוך שבאיור מראה כיצד להפוך מלבן אחד לאחר, במקרים שאורך הצלע במלבן המקורי היא פחות מכפולה מאורך הצלע במלבן הדרוש. אחרת, ניתן לבצע את החיתוך בשני שלבים, כאשר בשלב הראשון חוצים את המלבן לשניים ומחברים את שני החלקים זה מעל זה. Rect2Rect.svg
3) לחבר כל מספר שהוא של מלבנים לריבוע אחד כל אחד מהמלבנים הופכים למלבן שאורך אחת הצלעות שלו היא כאורך הריבוע הרצוי, לבסוף מניחים את המלבנים זה לצד זה Rects2sqr.svg
4) להפוך כל מצולע לריבוע מבצעים טריאנגולציה (כלומר חלוקה למשולשים) על המצולע, למשל על ידי מתיחת אלכסונים בין אחד הקודקודים לכל שאר הקודקודים (אם המצולע קמור). כל אחד מהמשולשים הופך למלבן (בהסתמך על הצעד הראשון), ועתה מחברים את המלבנים כולם לריבוע לפי צעד 3 Polygon2rect.svg
5) להפוך כל מצולע לכל מצולע אחר כל מצולע ניתן להפוך לריבוע (לפי שלב 4), ולכן גם אפשר להפוך ריבוע לכל מצולע. מכאן שכדי להפוך מצולע א' למצולע ב', הופכים את מצולע א' לריבוע, ואת הריבוע למצולע ב' Poly2poly.svg

הבעיה התלת-ממדית היא קשה יותר: האם ניתן לחתוך כל פאון לחלקים שאותם יהיה ניתן להרכיב מחדש על מנת לקבל כל פאון אחר. המתמטיקאי דויד הילברט כלל את השאלה הזאת כבעיה השלישית ברשימת 23 הבעיות המפורסמת שלו. הילברט שאל האם מכל פאון (צורה תלת-ממדית המורכבת ממצולעים) ניתן להגיע לכל פאון אחר על ידי חיתוך והרכבה. את הבעיה פתר תלמידו של הילברט, מקס דן, שנה אחת בלבד לאחר הצגתה, בכך שהוא מצא זוג ארבעונים שלא ניתן להפוך אחד לשני על ידי חיתוך והרכבה.

חיתוכים מינימליים[עריכת קוד מקור | עריכה]

חיתוך מצולעים לפי האלגוריתם המתואר לעיל עשוי לדרוש חלקים רבים, ולשאלה מה המספר הקטן ביותר של חלקים הדרושים בשביל להפוך מצולע אחד למצולע אחר אין פתרון כללי; ישנו מספר קטן מאוד של זוגות של מצולעים עבורם הצליחו להוכיח שנמצא הפתרון הדורש את מספר החלקים הקטן ביותר. בהיעדר פתרונות אלו, הפך ענף זה לענף פורה של שעשועי מתמטיקה. ישנה רשימת שיאים עבור זוגות של צורות שונות הכוללת את החיתוכים הדורשים את מספר החלקים הקטן ביותר. הפתרון של חידת מוכר הסדקית, שבה ניתן להפוך ריבוע למשולש שווה-צלעות על ידי חיתוך לארבעה חלקים בלבד והרכבתם מחדש, היא השיא הקיים לאתגר זה (לא נמצא חיתוך הדורש פחות מארבעה חלקים).

שיטות ליצירת חיתוכים[עריכת קוד מקור | עריכה]

מרבית החיתוכים הידועים היום התגלו על בסיס של מספר קטן מאוד של שיטות בנייה. חלק גדול מהקסם של חידות החיתוך הוא בכך שבאמצעים פשוטים ניתן להגיע לחיתוכים הנראים כמורכבים.

להלן דוגמאות לכמה מהשיטות הבסיסיות ליצירת חיתוכים:

  • שיטת ההחלקה (Slide Method): ThreeSqrs2One.svg בשיטה זאת מציירים קו כלשהו המחלק את הצורה לשניים, ובשלב השני מחליקים את הצורות על בסיס הקו. בתמונה ניתן לראות חיתוך המאפשר לעבור משלושה ריבועים לריבוע אחד על בסיס שיטת ההחלקה, חיתוך שהמציא ה. פריגל (ריבועי שילוש (אנ')).
  • שיטת המדרגות: SmartAlecSolution.svg שיטה זאת דומה לשיטת ההחלקה, אך במקום להחליק את הצורות על קו ישר, מורידים את הצורות במורד מדרגות. באיור ניתן לראות את הפתרון לחידה המופיעה באיור למעלה (סם לויד נתו לה את השם "חידת החוכמולוג", Smart Alec puzzle) המתבסס על שיטת המדרגות.
  • שיטת הריצופים:
    GreekCross2Square.svg
    אחת השיטות הפוריות ביותר ביצירת חיתוכים מתבססת על ריצופים. בשיטה זו, על מנת ליצור חיתוך ההופך צורה אחת לאחרת, יוצרים ריצוף של הצורה הראשונה, ריצוף של הצורה השנייה ומהנחה של הריצופים אחד על שני מקבלים את החיתוך הדרוש. אחד היתרונות בשיטה זו הוא שעל ידי החלקה וסיבוב של הריצופים, זה יחסית לזה, ניתן לקבל מגוון רחב של ריצופים, ובפרט, ניתן לחפש אחר חיתוכים הדורשים מספר מינימלי של חלקים. בתמונה ניתן לראות את הדרך שבה הרי לינדגרן בנה את החיתוך המאפשר להפוך צלב יווני לריבוע - דרך המבוססת על ריצופים.

רשימת השיאים[עריכת קוד מקור | עריכה]

בטור המפורסם שלו "Mathematical Games" שהופיע בירחון "סיינטיפיק אמריקן", כתב מרטין גרדנר כתבה על חיתוכים, שבה הופיעה רשימת שיאים של המספר המינימלי של חלקים הדרוש לעבור מצורה אחת לאחרת, עבור מגוון רב של צורות. הטבלה של גרדנר כללה במקור בעיקר חיתוכים פרי יצירתם של הנרי ארנסט דודני והרי לינדגרן. מאז פרסום הכתבה נשברו רבים מהשיאים, וחלקם אף נשברו מספר פעמים, בעיקר על ידי גווין תאובלד וגרג פרדריקסון. להלן רשימה חלקית של שיאים אלו, מעודכנת ליולי 2008. רשימה מלאה יותר של שיאים, ופירוט החיתוך עבור כל זוג צורות ניתן למצוא באתר של גווין תאובלד.

Polygons 3.svg Polygons4.svg Polygons5.svg Polygons6.svg Polygons7.svg Polygons8.svg Pentagram dis.svg Hexagram dis.svg
Polygons4.svg 4
Polygons5.svg 6 6
Polygons6.svg 5 5 7
Polygons7.svg 8 7 9 8
Polygons8.svg 7 5 9 8 11
Pentagram dis.svg 7 7 9 9 11 10
Hexagram dis.svg 5 5 8 6 9 8 10
Ps GreekCross.svg 5 4 7 7 9 9 10 8

הוכחות גאומטריות המסתמכות על חיתוכים[עריכת קוד מקור | עריכה]

הוכחות למשפט פיתגורס[עריכת קוד מקור | עריכה]

הוכחת משפט פיתגורס באמצעות חיתוכים


Postscript-viewer-shaded.png ערך מורחב – משפט פיתגורס

משפט פיתגורס הוא אחד המשפטים העתיקים והחשובים בגאומטריה. המשפט קרוי על שמו של הפילוסוף היווני פיתגורס, אך התגלה זמן רב לפניו והיה ידוע לא רק ביוון העתיקה אלא גם למתמטיקאים בסין, בהודו וברחבי העולם העתיק. המשפט קובע שבמשולש ישר-זווית, סכום ריבועי הניצבים שווה לריבוע היתר. בספר "יסודות" של אוקלידס, ההוכחה למשפט מתבססת על דמיון משולשים. לאורך הדורות נמצאו הוכחות רבות נוספות למשפט, חלק גדול מהן מבוסס על חיתוכים.

למתמטיקאי ההודי אריאבהטה (שחי במאה ה-5 וידוע בעיקר בזכות המצאת השיטה העשרונית) מיוחסת אחת ההוכחות היפות ביותר של המשפט, הוכחה שמקובלת בספרי לימוד גם כיום ומבוססת על חיתוכים. את ההוכחה ניתן לראות באיור: נבנה ארבעה משולשים ישרי זווית שאורך הניצבים שלהם הוא \ a,b ואורך היתר \ c. כאשר מחברים אותם יחד באופן הנראה בחלק הימני של האיור, מתקבל ריבוע גדול שאורך הצלע שלו הוא \ a+b, וריבוע לבן הכלוא בפנים שאורך הצלע שלו הוא \ c, ולכן השטח של החלק הלבן הוא \ c\times c. עתה נחתוך את המשולשים ונסדר אותם באופן הנראה בחלק השמאלי של האיור. שוב מתקבל ריבוע גדול בעל אורך צלע \ a+b, ולכן השטח של החלק הלבן באיור צריך להיות זהה לשטח הלבן באיור השמאלי. אלא שהשטח הלבן באיור מורכב כעת משני ריבועים בעלי צלעות \ a ו-\ b, כלומר שטחו \ a^2+b^2, ומכאן שהוכח משפט פיתוגרס.

Pythagoras-2a.gif
הוכחת משפט פיתגורס מתוך הספר הסיני "Chou Pei Suan Ching"

הוכחה עתיקה עוד יותר למשפט ניתן למצוא בטקסט סיני בשם "Chou Pei Suan Ching" המתוארך בין 500 ל-200 לפנה"ס. בתמונה מופיע העמוד בטקסט שבו משפט פיתגורס, וניתן לראות שמידותיו של המשולש באיור הם השלשה הפיתגוראית 3,4,5. באנימציה ניתן לראות פעם נוספת כיצד בעזרת חיתוך לארבעה משולשים ישרי זווית וסידור החלקים מחדש, מתקבלת הוכחה של המשפט.

בימי קדם חיתוכים שימשו גם לצורך חישוב שטחים של מצולעים בעלי מספר רב של צלעות, חישובים שבתורם נתנו הערכות למספר פאי.

הוכחות אלגבריות[עריכת קוד מקור | עריכה]

TriangleNumbers.svg
SquareNumbers.svg

בשעשועי מתמטיקה אוהבים להראות הוכחות גאומטריות פשוטות לזהויות באלגברה. דוגמה להוכחה כזאת נוגעת לקשר שבין מספרים משולשים ומספרים מרובעים. מספרים משולשים, הם הסדרה 1,3,6,10,15... שבה כל מספר, \ T_n הוא סכום המספרים בין 1 ל-n. הם נקראים כך משום שבעזרת מספרים אלו של כדורים ניתן לבנות משולשים (ראו איור).


T_n= 1+2+3+ \dotsb +(n-1)+n = \frac{n(n+1)}{2}


Square number 25 as sum of two triangular numbers.svg

מספרים ריבועיים \ S_n, הם המספרים שבעזרתם ניתן לבנות ריבועים, והנוסחה עבורם היא \ S_n=n^2.

באמצעות הרכבה פשוטה של ריבוע משני משולשים קל להיווכח שמתקיימת הזהות האלגברית: \ S_n= T_n+T_{n-1}.



הוכחות שקריות[עריכת קוד מקור | עריכה]

Loyd64-65-dis b.svg

בכל הבעיות של חיתוך צורה אחת והרכבתה לבנייה של צורה אחרת, השטח של הצורה המקורית חייב להיות שווה לשטחה של הצורה החדשה ("חוק שימור השטח"). יחד עם זאת, ישנם חיתוכים רבים שבהם לכאורה חוק זה לא מתקיים. בספרות שעשועי המתמטיקה מתייחסים לחיתוכים אלו בתור קסמים, או פרדוקסים - כלומר הוכחות הסותרות את חוק שימור השטח, אך בחינה מדוקדקת של החיתוכים מראה שלמעשה אלו הוכחות שקריות: הם מבוססות על טעות (קשה לזיהוי) בחישוב השטחים.

באיור ניתן לראות דוגמה קלאסית לחיתוכים מסוג זה, שהומצאה על ידי סם לויד. החיתוך מראה כיצד לחלק ריבוע 8x8 לארבעה חלקים (שני משולשים ושני טרפזים) שמהם ניתן לכאורה להרכיב מלבן בגודל 5x13. אולם, שטח הריבוע הוא 64 ושטח המלבן הוא 65 - ומכאן שעל ידי חיתוך והרכבה הצלחנו לכאורה להגדיל את שטח הצורה. הטעות בחיתוך היא שהשיפוע של המשולש ושל הטרפז אינם זהים. השיפוע של המשולש הוא 3/8=0.375 ואילו השיפוע של הטרפז הינו 2/5=0.4. מכאן שהטרפז והמשולש לא מתחברים באופן חלק כדי ליצור את המלבן. באיור ניתן לראות גם הרכבה נוספת של אותם חיתוכים ממש, שנתגלתה על ידי בנו של סם לויד, היוצרת צורה שלכאורה השטח שלה הוא 63.

אחד הדברים המעניינים בחיתוכים אלו הוא הקשר ביניהם לבין סדרת פיבונאצ'י. סדרת פיבונאצ'י היא סדרת המספרים 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144... שבה כל מספר בסדרה הוא סכום שני המספרים הקודמים לו (למעט שני הראשונים). אחת התכונות של הסדרה היא שההפרש בין הריבוע של כל איבר בסדרה למכפלת האיבר העוקב לו באיבר הקודם שווה \pm 1. לדוגמה, הריבוע של 8 הוא 64 והוא שווה לאחד פחות ממכפלת 5x13=65; בעובדה זאת נעשה שימוש בחיתוך של סם לויד. באופן דומה ניתן לבנות חיתוכים המשתמשים גם באיברים הבאים בסדרה. הראשון שכתב על קשר זה היה ו. שלגל (V. Schlegel) בשנת 1879 ‏‏‏[10], ואחד האנשים לחקור קשר זה היה לואיס קרול.

Missing square puzzle.svg

החיתוך הנוסף הנראה באיור, הוא אחד החיתוכים הפשוטים ביותר מן הסוג הזה. הוא הומצא על ידי מרטין גרדנר ומבוסס על חידות דומות שהמציא הקוסם האמריקאי פול קורי (Paul Curry). בחיתוך זה משולש מחולק לחלקים המרכיבים את אותו משולש עצמו, רק ללא אחת המשבצות שבו.

חידת "הסיני הנעלם"

סוג נוסף של חיתוכים, לכאורה פרדוקסליים, הם ציורים המכילים מספר דמויות, שבהם לאחר שהציור נחתך ומורכב מחדש אחת הדמויות נעלמת. באיור נראית אחת החידות המפורסמות ביותר בהקשר זה, חידת "הסיני הנעלם", או בשמה המקורי "Get Off the Earth Puzzle". בחידה, שהומצאה על ידי סם לויד וזכתה להצלחה מסחרית עצומה (סם לויד אף הוציא פטנט על הרעיון הזה‏‏‏[11] בשנת 1896) , מופיעות 13 דמויות סיניות מסביב למעגל. כאשר חותכים את המעגל, נועצים נעץ במרכזו, ומסובבים את המעגל כך שמחט המצפן מצביעה לכיוון צפון-מערב; אזי נראות בתמונה 12 דמויות בלבד.

Van Line.svg

בספרו "Mathematics Magic and Mystery" נותן מרטין גרדנר הסבר פשוט לאופן שבו פועלת החידה הזאת וחידות רבות מסוגה, הסבר שניתן לראות באיור משמאל. באיור, בצידו השמאלי, נראים 6 קווים. לאחר החיתוך וההזזה מתארך כל אחד מן הקווים (פרט לימני) ב-1/5 מארכו, וכך נעלם אחד מהם.

לקריאה נוספת[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • Perigal, H. "Geometric Dissections and Transpositions", London: Bell & Sons, 1891
  • Lindgren, H. "Geometric Dissections", Van Nostrand 1964
  • Frederickson, G. "Dissections: Plane and Fancy", New York: Cambridge University Press, 1997

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]

הסטומכיון[עריכת קוד מקור | עריכה]

חיתוכים בלבד[עריכת קוד מקור | עריכה]

הוכחות באמצעות חיתוכים[עריכת קוד מקור | עריכה]

הוכחות שקריות[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • הדגמה ברשת של חידה הדומה לחידת 'Get off the earth' (חידת 'הסיני הנעלם').

הערות שוליים[עריכת קוד מקור | עריכה]

  1. ^ ‏Liu Hiu אנ'
  2. ^ ‏ירדן (ראו ההערה הבאה) מייחס את ההגדרה של מרחק הפירוק לאדולף לינדנבאום, שחקר אותו יחד עם טרסקי.‏
  3. ^ ‏ Alfred Tarski, Młody Matematyk 1 (1931), 37-44. תורגם לעברית על ידי דב ירדן ופורסם ברבעון למתמטיקה, כרך 5 (תשי"א-תשי"ב), עמ' 32-38. ‏
  4. ^ ‏ראו פורטל:מתמטיקה/חידה/54
  5. ^ ‏Journal of Recreational Mathematics, vol 24 page 64, 1992‏ ראו גם פורטל:מתמטיקה/חידה/56
  6. ^ ‏ראו פורטל:מתמטיקה/חידה/24
  7. ^ ‏ Journal of Combinatorial Theory, Series B vol 25. page 240, 1978 קישור הדורש מנוי
  8. ^ ‏דב ירדן, "על אי-האפשרות של תעקוב הקוביה", רבעון למתמטיקה כרך 7, תשי"ג-תשי"ד.‏
  9. ^ ‏ דוגמה נוספת לחידת הרכבת פוליאומינו קלאסית ניתן למצוא כאן.‏
  10. ^ ‏V. Schlegel, Zeitschrift fur Mathematik und Physik Vol.24 p.123‏
  11. ^ הפטנט של לויד משנת 1896
ערך מומלץ
Article MediumPurple.svg