חלוקה (תורת הקבוצות)

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

בתורת הקבוצות, חלוקה (לפעמים נקראת חלוקה זרה) של קבוצה X, היא אוסף של תת קבוצות לא ריקות של X, שהן זרות בזוגות ומכסות את X (היינו, X שווה לאיחוד שלהן).

דוגמאות[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • קבוצת המספרים הזוגיים וקבוצת המספרים האי זוגיים היא חלוקה של קבוצת המספרים השלמים.
  • כל יחס שקילות על קבוצה מסוימת מגדיר עליה חלוקה למחלקות שקילות. הכיוון ההפוך גם נכון: כל חלוקה של קבוצה היא למעשה מחלקות שקילות של יחס שקילות שמוגדר כך שהאיבר a שקול ל-b אם שניהם שייכים לאותה תת-קבוצה.
  • אם H היא תת חבורה של G, אז המחלקות הימניות או השמאליות של H הן חלוקה של G. אם H תת חבורה נורמלית, איברי החלוקה מהווים חבורה בפני עצמם באופן טבעי.
  • לכל קבוצה X לא ריקה קיימות חלוקות טריוויאליות: החלוקה \left\{ X \right\} שמכילה איבר יחיד והוא הקבוצה כולה, והחלוקה \ \left\{ \left\{ x \right\} : x \in X \right\} - פירוק הקבוצה ליחידונים.

יחס העידון[עריכת קוד מקור | עריכה]

על אוסף החלוקות של קבוצה X מוגדר יחס סדר חלקי הנקרא "יחס העידון"; חלוקה אחת מעודנת יותר מהשנייה אם קבוצותיה מוכלות בקבוצות החלוקה השנייה. באופן הזה החלוקה המעודנת יותר היא למעשה איחוד של חלוקות של קבוצות החלוקה הפחות מעודנת. באופן פורמלי, חלוקה \ P_1 = \{ A_\alpha\} _{ \alpha \in I} מעודנת יותר מחלוקה \ P_2 = \{ B_\beta\} _{ \beta \in J} אם לכל \beta \in J קיימת \alpha \in I כך ש- \ B_\beta \subseteq A_\alpha . יחס העידון הופך את אוסף החלוקות של הקבוצה X לסריג שהמינימום והמקסימום שלו הן החלוקות הטריוויאליות.

מספרי בל[עריכת קוד מקור | עריכה]

מספר החלוקות האפשריות של קבוצה בגודל n, נקרא מספר בל ה-n-י על שם המתמטיקאי האמריקאי אריק טמפל בל, ומסומן \ B_n (אין קשר ישיר למספרי ברנולי המסומנים באותו אופן, ושכיחים יותר בספרות המתמטית).

מספרי בל מקיימים את הנוסחה הרקורסיבית: B_{n+1}=\sum_{k=0}^n {n\choose k}B_k, \ B_0 = 1.
הפונקציה היוצרת המעריכית של מספרי בל היא:

\sum_{n=0}^\infty\frac{B_n}{n!}z^n=e^{e^z-1}

(ראו גם פונקציית החלוקה, לפונקציה הסופרת חלוקות שבהן רק גודל החלקים משנה).

חבורה פרימיטיבית[עריכת קוד מקור | עריכה]

בתורת החבורות, כאשר חבורה פועלת על קבוצה, ניתן לדבר על חלוקות שהן אינווריאנטיות תחת אותה חבורה או אינן. חלוקה \ \{ A_\alpha\} נקראת G-אינווריאנטית (כאשר G היא החבורה) אם עבור כל איבר מ-G, \ g \in G מתקיים:

\ \left\{ A_\alpha \right\} = \left\{ g A_\alpha \right\}
g A_\alpha\ = \{ g(a) : a \in A_\alpha \}

כלומר איברי החבורה לכל היותר מחליפים בין קבוצות החלוקה אך לא לוקחים קבוצה מהחלוקה המקורית לקבוצה שלא נמצאת בחלוקה. חבורות שהחלוקות האינווריאנטיות היחידות שלהן הן החלוקות הטריוויאליות נקראות חבורות פרימיטיביות.