חצי מרחב

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
המישור האדום והצירים מגדירים את הקבוצה הכחולה שהיא חיתוך של ארבעה חצאי-מרחבים.

בגאומטריה, חצי מרחב הוא אחד משני החלקים שנוצרים מחלוקת המרחב התלת-ממדי באמצעות מישור. באופן כללי יותר אחד משני החלקים שעל-מישור יוצר במרחב האפיני המתאים לו.

במרחב דו-ממדי (מישור) חצי המרחב הוא חצי מישור (כאשר העל-מישור הוא ישר) ובמרחב חד-ממדי (ישר) חצי המרחב הוא קרן (כאשר העל מישור הוא נקודה).

חצי מרחב נקרא פתוח אם הוא אינו מכיל את העל-המישור המגדיר אותו, ונקרא סגור אם הוא מכיל את העל-מישור שמגדיר אותו. חצאי מרחב פתוחים וסגורים הם קבוצות פתוחות וסגורות בהתאמה, תחת המטריקה האוקלידית.

חצי מרחב הוא תמיד קבוצה קמורה, וכל קבוצה קמורה ניתנת לתיאור כחיתוך (ייתכן אינסופי) של חצאי מרחבים.

ניתן להגדיר חצי מרחב באמצעות אי-שוויון לינארי הנגזר מהמשוואה הלינארית המגדירה את העל-מישור. אי-שוויון ממש (קטן ממש או גדול ממש):

a_1x_1+a_2x_2+\cdots+a_nx_n>b

מגדיר חצי מרחב פתוח בהנחה שלפחות אחד מהמקדמים שונה מאפס, בעוד שאי-שוויון (קטן שווה או גדול שווה):

a_1x_1+a_2x_2+\cdots+a_nx_n\geq b

מגדיר חצי מרחב סגור בהנחה שלפחות אחד מהמקדמים שונה מאפס.