חתכי דדקינד

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
המחשה גאומטרית של חתך דדקינד המתאים לשורש 2. A היא קבוצת הרציונלים בתחום האדום ו-B היא קבוצת הרציונליים בתחום הכחול.

חתכי דדקינד מהווים אחת משתי השיטות הקלאסיות לבנייה של שדה המספרים הממשיים מתוך שדה המספרים הרציונליים. אלו הן הבניות הראשונות של שדה זה שאינן תלויות באקסיומות גאומטריות. את הבניה הציג ריכארד דדקינד ב- 1872. באותה שנה הציע גיאורג קנטור את הבניה באמצעות "סדרות קושי".

חתך במספרים הרציונליים הוא חלוקה שלהם לשתי קבוצות לא ריקות \ A ו-\ B, כך שכל איבר של \ A קטן מכל איבר של \ B, וכך של-\ A אין מקסימום. לדוגמה, אם \ r הוא מספר רציונלי, אפשר לבחור \ A=\{x : x < r\} ו- B=\{x : x\geq r\}; אז \ A|B הוא החתך המתאים ל-\ r. חתכים אלה, שאותם אפשר לאפיין גם בכך שלקבוצה B יש מינימום, נקראים "החתכים הרציונליים".

אפשר להגדיר פעולות חיבור וכפל בין חתכים, והאוסף המתקבל הוא שדה, שאוסף החתכים הרציונליים מהווה תת-שדה שלו. יתרה מזו, קל לסדר את השדה החדש (\ A|B גדול מ- \ A'|B' אם \ A מכיל את \ A'), ואז השיכון של הרציונליים בשדה החתכים (המתאים לכל מספר רציונלי את החתך שלו) שומר על יחס הסדר.

ישנם גם חתכים לא רציונליים. למשל, אפשר לקחת את \ B להיות קבוצת המספרים הרציונליים החיוביים, שריבועם גדול מ-2, ואת \ A להיות המשלים של \ B. במקרה זה \ A|B הוא חתך שריבועו שווה לחתך המתאים ל-2, ולכן אינו יכול להיות רציונלי (שהרי השורש הריבועי של 2 אינו רציונלי).

מתברר שהשדה החדש הוא שדה סדור שלם ארכימדי, והוא השדה היחיד בעל תכונות אלה. לשדה זה קוראים שדה המספרים הממשיים. את אוסף החתכים אפשר לבנות עבור כל שדה סדור, אלא שהתוצאה אינה שדה אלא אם השדה המקורי הוא ארכימדי. אוסף החתכים בשדה ארכימדי איזומורפי בכל המקרים לשדה המספרים הממשיים.

ב-1972 הכליל את הרעיון ג'ון קונווי, ובנה את מה שכונה אחר-כך מספרים סוריאליסטיים.