טנזור התמד

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
(הופנה מהדף טבלת טנזורי התמד)
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
Merge-arrows-3.svg מתקיים דיון בו מוצע לאחד ערך זה עם הערך מומנט התמד.
אם אין התנגדויות, ניתן לאחד את הערכים שבוע לאחר הצבת התבנית.

טנזור ההתמד (או טנזור האינרציה) הוא דרך נוחה וקצרה להציג את מומנטי ההתמד של הגוף. כתיבת מומנט ההתמד כטנזור מאפשרת למצוא קשר נוח בין המהירות הזוויתית של גוף לתנע הזוויתי ולאנרגיה הקינטית שלו.

טנזור התמד[עריכת קוד מקור | עריכה]

Inertia01.JPG

טנזור ההתמד מורכב מרכיבים של מומנטי ההתמד של המסה ומרכיבים של מכפלת התמד של המסה. טנזור ההתמד מוגדר כך:


\mathbf{I} \stackrel{\mathrm{def}}{=} \begin{bmatrix}
I_{xx} & I_{xy} & I_{xz} \\
I_{yx} & I_{yy} & I_{yz} \\
I_{zx} & I_{zy} & I_{zz}
\end{bmatrix}

כאשר הרכיבים על האלכסון הראשי הם מומנטי התמד של המסה ביחס לציר נתון:

  • \ I_{xx} - הוא מומנט ההתמד של המסה סביב ציר \ X
  • \ I_{yy} - הוא מומנט ההתמד של המסה סביב ציר \ Y
  • \ I_{zz} - הוא מומנט ההתמד של המסה סביב ציר \ Z

שאר האיברים הם מכפלת ההתמד של המסה ביחס לזוג צירים נתון:

  • \ I_{xy} - הוא מכפלת ההתמד של המסה ביחס לצירים \ X, Y
  • \ I_{xz} - הוא מכפלת ההתמד של המסה ביחס לצירים \ X, Z
  • \ I_{yz} - הוא מכפלת ההתמד של המסה ביחס לצירים \ Y, Z
ומתקיים \ I_{xy}=I_{yx},  I_{yz}=I_{zy},  I_{xz}=I_{zx}. אם כל מכפלות ההתמד מתאפסות, קוראים לצירים \ x,y,z צירים ראשיים.

בכתיבה זו, נוח לחשב את התנע הזוויתי והאנרגיה הקינטית של הגוף:

  • התנע הזוויתי נתון על ידי \ \vec M = I\vec\omega, כאשר \ \vec\omega היא המהירות הזוויתית והכפל הוא כפל מטריצות רגיל.
  • האנרגיה הקינטית נתונה על ידי \ E_k = \frac{1}{2} \, \vec \omega^t I \vec \omega, וגם כאן הכפל הוא כפל מטריצות רגיל. כלומר, האנרגיה הקינטית היא חצי מהתוצאה המתקבלת על ידי הצבת \ \vec \omega בתבנית הריבועית המוגדרת על ידי \ I.

חשוב לציין כי טנזור ההתמד הוא מטריצה סימטרית, ולכן ניתן ללכסן אותו על ידי מערכת צירים אורתוגונלית. זוהי עובדה חשובה בעלת משמעות פיזיקלית מעניינת - לכל גוף תלת ממדי ניתן לבחור שלושה צירים ניצבים שיהוו עבורו צירים ראשיים.

כיוון שהתנע הזוויתי מתקבל ממכפלת טנזור האינרציה במהירות הזוויתית, מתקבלת תופעה מפתיעה - התנע הזוויתי לא חייב להיות מקביל למהירות הזוויתית. תופעה זו גורמת לכך שגופים המסתובבים באופן חופשי, יכולים לבצע תנועה מסוכבת למדי. אם, לדוגמה, נזרוק עט באוויר כך שהוא מסתובב בערך סביב צירו, נגלה כי קצוות העט "מציירים" באוויר מעגלים קטנים. תופעה זו מתקבל כיוון שחוק שימור התנע דורש כי התנע הזוויתי ישאר קבוע. אם המהירות הזוויתית אינה מקבילה לתנע הזוויתי, מוכרח להתקיים שווקטור המהירות הזוויתי יקיף את ווקטור התנע הזוויתי במעגלים. תופעה זו נקראת נקיפה (פרצסיה).

הגדרה[עריכת קוד מקור | עריכה]

הרכיבים של טנזור ההתמד כסכומים[עריכת קוד מקור | עריכה]

I_{xx} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\  \sum_{i=1}^{N} m_{i} (y_{i}^{2}+z_{i}^{2})\,\!
I_{yy} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\  \sum_{i=1}^{N} m_{i} (x_{i}^{2}+z_{i}^{2})\,\!
I_{zz} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\  \sum_{i=1}^{N} m_{i} (x_{i}^{2}+y_{i}^{2})\,\!
I_{xy} = I_{yx} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\  -\sum_{i=1}^{N} m_{i} x_{i} y_{i}\,\!
I_{xz} = I_{zx} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\  -\sum_{i=1}^{N} m_{i} x_{i} z_{i}\,\!
I_{yz} = I_{zy} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\  -\sum_{i=1}^{N} m_{i} y_{i} z_{i}\,\!

הרכיבים של טנזור ההתמד כאינטגרלים[עריכת קוד מקור | עריכה]

כאשר מדובר בגוף רציף שלא ניתן לראות אותו כמורכב מיחידות בדידות קטנות, הגדרת רכיבי טנזור ההתמד נעשית בצורה שקולה לחלוטין באמצעות אינטגרלים:

I_{xx} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \iiint_V (y^{2}+z^{2})\,\rho(v)\,dv  \!
I_{yy} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \iiint_V (x^{2}+z^{2})\,\rho(v)\,dv  \!
I_{zz} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \iiint_V (x^{2}+y^{2})\,\rho(v)\,dv  \!
I_{xy} = I_{yx} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ -\iiint_V xy\,\rho(v)\,dv  \!
I_{xz} = I_{zx}  \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ -\iiint_V xz\,\rho(v)\,dv  \!
I_{yz} = I_{zy}  \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ -\iiint_V yz\,\rho(v)\,dv  \!

כאשר:

שינוי צירים[עריכת קוד מקור | עריכה]

אם \ T היא מטריצת סיבוב, ו \ I הוא טנזור ההתמד במערכת צירים ידועה, אז טנזור ההתמד במערכת הצירים המתקבלת על ידי הפעלת \ T נתון על ידי I_{new}=T^{-1}\cdot R\cdot T

דוגמאות[עריכת קוד מקור | עריכה]

קובייה מלאה[עריכת קוד מקור | עריכה]

Inertiatensor01.GIF
  • \ a, b, c - ממדי הקובייה
  • \ \rho - צפיפות חומר הקוביה
  • \ V - נפח הקוביה
  • \ I - טנזור ההתמד

הטנזור הוא:


\mathbf{I} = \begin{bmatrix}
 \frac{\rho V}{3} (b^2 +a^2) & \frac{\rho V}{4} cb & \frac{\rho V}{4} ac \\
\frac{\rho V}{4} cb & \frac{\rho V}{3} (c^2 +a^2) & \frac{\rho V}{4} ab \\
\frac{\rho V}{4} ac & \frac{\rho V}{4} ab & \frac{\rho V}{3} (b^2 +c^2)
\end{bmatrix}

כדור מלא[עריכת קוד מקור | עריכה]

Inertiatensor02.GIF
  • \ R - רדיוס הכדור
  • \ M - מסת הכדור
  • \ I - טנזור ההתמד

הטנזור הוא:


\mathbf{I} = \begin{bmatrix}
 \frac{2 M R^2}{5} & 0 & 0 \\
0 & \frac{2 M R^2}{5} & 0 \\
0 & 0 & \frac{2 M R^2}{5}
\end{bmatrix}

כאשר:

  • \  M =\rho \frac{4}{3} \pi R^3
  • \ \rho - צפיפות חומר הכדור

טבלה[עריכת קוד מקור | עריכה]

בטבלה מוצגים טנזורי מומנט ההתמד ביחס לצירים הראשיים של גופים פשוטים נוספים. להצגת הטבלה לחצו על "הצגה".

לקריאה נוספת[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • Sybil P. Parker, McGraw Hill Encyclopedia of Engineering, 1983.
  • Irving H. Shames, Engineering Mechanics, Prentic - Hill International Inc. 1970

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]